Omaggio a Conti

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Tempo fa ho visto questo teorema enunciato su un Fibonacci, senza dimostrazione (pare che sia dovuto a Cartesio). Pensandoci oggi, ho trovato per caso una dimostrazione carina e del tutto elementare, quindi lo propongo:
 
 E\' dato un tetraedro in cui 3 facce sono a due a due ortogonali. Siano S1, S2, S3 le aree di queste facce, e S l\'area della faccia rimanente.
 Dimostrare quello che si potrebbe dire un teorema di Pitagora \"generalizzato\":
 S2 = S12 + S22 + S32.
 
 Per favore, niente integrali, niente contazzi, niente trigonometria selvaggia, etc.[addsig]

Epsilon · Messaggio da **Epsilon** » 01 gen 1970, 01:33

Allora, proviamoci...
 Chiamiamo V il vertice in cui si intersecano le facce ortogonali e A, B, C gli altri tre vertici del tetraedro. AVB, AVC e BVC sono rettangoli con l\' angolo retto in V. Per comodità chiamo AV=a, BV=b e CV=c e le ipotenuse d (cateti a e b), e (a e c) ed f (b e c).
 Area AVB=(a*b)/2; analogamente s1^2+s2^2+s3^2=((a*b)^2+(a*c)^2+(b*c)^2)/4.
 Considero il triangolo ABC su base d: la sua altezza h_d è l\' ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti il lato c e l\' h relativa all\' ipotenusa di AVB; per Pitagora h_d=sqrt(c^2+(a*b/d)^2); area ABC=S=(1/2)*sqrt(d^2*(c^2+(a*b/d)^2)), quindi, (sapendo d^2=a^2+b^2), S^2=(1/4)*((a^2+b^2)*c^2+(a*b)^2), cioè (1/4)*((a*b)^2+(a*c)^2+(b*c)^2).

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 niente contazzi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 penso che anti voglia proprio una risoluzione sintetica

Epsilon · Messaggio da **Epsilon** » 01 gen 1970, 01:33

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Sì, insomma, è difficile che Cartesio si sia accorto di quel teorema facendo contazzi. Può darsi che abbia fatto qualche esperimento ed abbia cercato di generalizzare, ma più probabilmente ha avuto un\'idea figa e da lì ha dedotto il suo teorema...

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Sia Sk il vettore-superficie della faccia k.
 
 Allora S + S1 + S2 + S3 = 0, ovvero S = -(S1+S2+S3). Eleviamo al quadrato ed otteniamno S² = S1²+S2²+S3², perchè i prodotti scalari si annullano.
 
 Idee sintitiche... unire fra loro in qualche modo simpatico le piramidi

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

anch\'io ci stavo pensando...
 esiste una dimostrazione analoga del teorema di pitagora, che consiste nel calcolare l\'area di un quadrato (ottenuto accostando 4 triangoli rett uguali ad un\'altro quadrato) in 2 modi diversi, e nell\'uguagliare poi le due espressioni.
 provando a formare un cubo su un altro cubo (con i tetraedri) forse...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

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 Allora S + S1 + S2 + S3 = 0
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 intuitivamente si capisce...
 ma come si dimostra?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

ehm...anti...visto che la discussione si è arenata...
 com\'era la tua soluzione??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">