Preparazione Sant'Anna

[leonid]

Ciao ragazzi, mi sto preparando all'ammissione alla Sant'Anna quest'anno, a qualcuno va confrontarsi in questi mesi che arrivano?

[Andreatransfer]

Volentieri, se hai quesiti che non ti tornano o che ritieni interessanti sono più che felice di affrontarli

[Alberto Maria]

Ciao a tutti! Mi sembra una bella idea, io partecipo volentieri

[TheMathSolver1]

A

[Andreatransfer]

Sto avendo diverse difficolta nel fare il quesito 2 di matematica dell'esame di ammissione alla Normale 2023/2024ovviamente dal sito della normale.


Esercizio 2. Se a `e un parametro reale positivo, calcolate il numero N(a) di soluzioni in x dell’equazione sin(a(sinx +(cosx)^2))= 0 con 0 ≤ x≤π/2

Ho provato a impostare l'uguaglianza: (a ( resto dell'argomento del seno)=kπ e ho fatto uno "studio di funzione" (massimi e minimi) di sinx+ (cosx)^2
e poi da li ho studiato i casi di k=1 e k=2. Ma non mi sembra un buon metodo, anche perchè con a>100 lordine di grandezza del numero delle soluzioni inizia a essere 10, e soprattutto, essendo l'insieme immagine di (a ( sinx+ (cosx)^2)) [a; 5a/4], i valori che si ottengono sono uguale a kπ ma con i k "piu disparati"
Proverò con la funzione arcsin, secondo voi è una buona idea? Pensavo di no all'iniio ma visti gli scarsi risultati...

Se qualche risoluzione è già stata postata online ditemelo, io non ho trovato nulla.

[J23]

Invece di studiare la funzione hai provato a risolvere l'equazione in funzione di $ sin x $?

Testo nascosto:

\[ \sin(x) = \frac{1 \pm \sqrt{5 - 4k \frac{\pi}{a}}}{2} \]

[Thoma(sinθ)]

Io sono giunto ad una possibile soluzione: gli x possibili sono 4 e sono 0, π/2, π/6 e sin^-1(1/4). Domani o nei giorni seguenti revisiono tutto, scrivo formalmente e fornisco la soluzione per intero (sempre se è quella corretta).
Tuttavia, se può esserti d'aiuto, ricava k dal radicando del ragazzo/a che ti ha suggerito l'equazione, alla quale arrivi risolvendo l'equazione di secondo grado a cui giungi notando che:
sin(a(sinx+cos²x))=0 <=> sin(a(sinx+1-sin²x))=0 <=> sin(a(sin²x-sinx-1))=0 [la funzione sin è dispari] <=> a(sin²x-sinx-1)=kπ, con k∈R, da cui:
(sin²x)a-(sinx)a-(a+kπ) e sinx=... (l'equazione di sopra)

[Thoma(sinθ)]

Ciao ragazzi, mi sto preparando all'ammissione alla Sant'Anna quest'anno, a qualcuno va confrontarsi in questi mesi che arrivano?

Mi piacerebbe moltissimo, io ci sto!

[J23]

Io sono giunto ad una possibile soluzione: gli x possibili sono 4 e sono 0, π/2, π/6 e sin^-1(1/4). Domani o nei giorni seguenti revisiono tutto, scrivo formalmente e fornisco la soluzione per intero (sempre se è quella corretta).

Non è corretta. Credo che osservando meglio l'equazione si noti facilmente che aumentando $ a $ crescono anche il numero di soluzioni.
Dal suggerimento che ho dato in precedenza io avevo impostato 2 sistemi di disequazioni composto dalle condizioni di esistenza del seno e della radice in modo tale da ottenere l'intervallo a cui appartenevano le soluzioni da cui ricavavo $ N(a) $ perchè a è fissato e k è un numero intero.