Tennis

[paul27]

In un torneo di tennis partecipano N giocatori, quante partite verranno giocate in totale?

[paul27]

La formula del torneo è l'eliminazione diretta, quando capita un turno con un numero dispari di giocatori uno passa il turno senza giocare. La soluzione e' istantanea, non c'è bisogno di usare formule per le progressioni geometriche.

[paul27]

N-1

[AleBoschi03]

Allora premetto che non so se sia giusto il ragionamento e vorrei avere dei consigli da voi perché sono estremamente curioso di vedere cosa ne pensiate:
In un torneo di tennis a eliminazione diretta tutti possiamo arrivare con ragionamento base che il numero totale di partite giocate dipende dal numero di giocatori partecipanti, N. Definizione molto semplice che però mette le basi a questo tipo di ragionamento: ogni partita elimina un giocatore, quindi per arrivare al vincitore finale ci devono essere N-1 partite giocate.
Detto questo, possiamo arrivare a dedurre che quando si ha un torneo a eliminazione diretta (ad eliminazione diretta perché secondo me statisticamente è gusto e migliore definirlo così) con N giocatori, ogni partita elimina un giocatore fino a che non rimane solo un vincitore. Quindi, per trovare il numero totale di partite giocate, possiamo calcolare il numero di partite giocate in ciascun round e sommarle.
Nel primo round, ci sono N/2 partite giocate (ogni partita elimina un giocatore, quindi si divide il numero totale di giocatori per 2).
Nel secondo round, ci sono N/4 partite giocate, poiché metà dei giocatori sono stati eliminati nel primo round.
Continuando così, nel k-esimo round ci saranno N/(2^k) partite giocate.
Il torneo termina quando rimane un solo vincitore, quindi dobbiamo trovare il valore di k che soddisfa l'equazione N/(2^k) = 1. Risolvendo per k, otteniamo k = log2(N).
Quindi, il numero totale di partite giocate è la somma delle partite giocate in ogni round, cioè:
la sommatoria da k=1 a logaritmo in base 2 di N di 2^K moltiplicato ad N
Possiamo semplificare questa somma usando la formula della serie geometrica:
la sommatoria da k=1 ad n della sequenza ar^n è uguale ad a moltiplicato a 1 meno r^n diviso ad 1 meno r
Dove a è il primo termine della sequenza, r è il rapporto tra i termini successivi e n è il numero di termini della sequenza.
Applicando questa formula alla somma delle partite giocate in ogni round, otteniamo:
N mezzi moltiplicato a 1-(1/2)^log2(N) diviso 1- 1/2 che semplificandolo è uguale a N moltiplicato a 1-1/N diviso 1/2 che a sua volta è uguale semplificato ulteriormente a N moltiplicato a (2 meno 2/N) che come risultato da 2N-2.
Quindi, in totale verranno giocate 2N - 2 partite in questo torneo.

[Stef2008]

Allora premetto che non so se sia giusto il ragionamento e vorrei avere dei consigli da voi perché sono estremamente curioso di vedere cosa ne pensiate:
In un torneo di tennis a eliminazione diretta tutti possiamo arrivare con ragionamento base che il numero totale di partite giocate dipende dal numero di giocatori partecipanti, N. Definizione molto semplice che però mette le basi a questo tipo di ragionamento: ogni partita elimina un giocatore, quindi per arrivare al vincitore finale ci devono essere N-1 partite giocate.
Detto questo, possiamo arrivare a dedurre che quando si ha un torneo a eliminazione diretta (ad eliminazione diretta perché secondo me statisticamente è gusto e migliore definirlo così) con N giocatori, ogni partita elimina un giocatore fino a che non rimane solo un vincitore. Quindi, per trovare il numero totale di partite giocate, possiamo calcolare il numero di partite giocate in ciascun round e sommarle.
Nel primo round, ci sono N/2 partite giocate (ogni partita elimina un giocatore, quindi si divide il numero totale di giocatori per 2).
Nel secondo round, ci sono N/4 partite giocate, poiché metà dei giocatori sono stati eliminati nel primo round.
Continuando così, nel k-esimo round ci saranno N/(2^k) partite giocate.
Il torneo termina quando rimane un solo vincitore, quindi dobbiamo trovare il valore di k che soddisfa l'equazione N/(2^k) = 1. Risolvendo per k, otteniamo k = log2(N).
Quindi, il numero totale di partite giocate è la somma delle partite giocate in ogni round, cioè:
la sommatoria da k=1 a logaritmo in base 2 di N di 2^K moltiplicato ad N
Possiamo semplificare questa somma usando la formula della serie geometrica:
la sommatoria da k=1 ad n della sequenza ar^n è uguale ad a moltiplicato a 1 meno r^n diviso ad 1 meno r
Dove a è il primo termine della sequenza, r è il rapporto tra i termini successivi e n è il numero di termini della sequenza.
Applicando questa formula alla somma delle partite giocate in ogni round, otteniamo:
N mezzi moltiplicato a 1-(1/2)^log2(N) diviso 1- 1/2 che semplificandolo è uguale a N moltiplicato a 1-1/N diviso 1/2 che a sua volta è uguale semplificato ulteriormente a N moltiplicato a (2 meno 2/N) che come risultato da 2N-2.
Quindi, in totale verranno giocate 2N - 2 partite in questo torneo.

Ciao, ci sono alcuni difetti nel tuo ragionamento, non ha senso dividere per due se N non è divisibile per 2. Allo stesso modo per ogni $2^i$... Poi $\log_2(N)$ deve essere intero... Quindi il tuo processo dà un risulto preciso solo nel caso in cui n è una potenza di due. Poi hai commesso alcuni errori algebrici nei calcoli... se applichi bene il tuo metodo su $N=2^k$ funziona ed è fornale. Infatti la somma è $\frac{2^k}{2}×(1+1/2+...+1/2^{k-1})=2^{k-1}×\frac{-\frac{1}{2^k}+1}{1-1/2}=2^k-1=N-1$.

Negli altri casi alcuni passaggi non sono leciti (quando non è una potenza di due e il valore del logaritmo non è intero...)

[Stef2008]

Comunque il tuo ragionamento può essere molto probabilmente usato, con opportune modifiche, mediante l'uso delle parti intere delle frazioni... bisogna fare un po' di conti ma magari con dovute modifiche può funzionare anche nel caso generale... Il metodo che si può applicare è però più semplice e privo di conti: ogni volta che viene disputato un incontro un giocatore viene squalificato: quindi verranno disputati $N-1$ incontri

[AleBoschi03]

Allora premetto che non so se sia giusto il ragionamento e vorrei avere dei consigli da voi perché sono estremamente curioso di vedere cosa ne pensiate:
In un torneo di tennis a eliminazione diretta tutti possiamo arrivare con ragionamento base che il numero totale di partite giocate dipende dal numero di giocatori partecipanti, N. Definizione molto semplice che però mette le basi a questo tipo di ragionamento: ogni partita elimina un giocatore, quindi per arrivare al vincitore finale ci devono essere N-1 partite giocate.
Detto questo, possiamo arrivare a dedurre che quando si ha un torneo a eliminazione diretta (ad eliminazione diretta perché secondo me statisticamente è gusto e migliore definirlo così) con N giocatori, ogni partita elimina un giocatore fino a che non rimane solo un vincitore. Quindi, per trovare il numero totale di partite giocate, possiamo calcolare il numero di partite giocate in ciascun round e sommarle.
Nel primo round, ci sono N/2 partite giocate (ogni partita elimina un giocatore, quindi si divide il numero totale di giocatori per 2).
Nel secondo round, ci sono N/4 partite giocate, poiché metà dei giocatori sono stati eliminati nel primo round.
Continuando così, nel k-esimo round ci saranno N/(2^k) partite giocate.
Il torneo termina quando rimane un solo vincitore, quindi dobbiamo trovare il valore di k che soddisfa l'equazione N/(2^k) = 1. Risolvendo per k, otteniamo k = log2(N).
Quindi, il numero totale di partite giocate è la somma delle partite giocate in ogni round, cioè:
la sommatoria da k=1 a logaritmo in base 2 di N di 2^K moltiplicato ad N
Possiamo semplificare questa somma usando la formula della serie geometrica:
la sommatoria da k=1 ad n della sequenza ar^n è uguale ad a moltiplicato a 1 meno r^n diviso ad 1 meno r
Dove a è il primo termine della sequenza, r è il rapporto tra i termini successivi e n è il numero di termini della sequenza.
Applicando questa formula alla somma delle partite giocate in ogni round, otteniamo:
N mezzi moltiplicato a 1-(1/2)^log2(N) diviso 1- 1/2 che semplificandolo è uguale a N moltiplicato a 1-1/N diviso 1/2 che a sua volta è uguale semplificato ulteriormente a N moltiplicato a (2 meno 2/N) che come risultato da 2N-2.
Quindi, in totale verranno giocate 2N - 2 partite in questo torneo.

Ciao, ci sono alcuni difetti nel tuo ragionamento, non ha senso dividere per due se N non è divisibile per 2. Allo stesso modo per ogni $2^i$... Poi $\log_2(N)$ deve essere intero... Quindi il tuo processo dà un risulto preciso solo nel caso in cui n è una potenza di due. Poi hai commesso alcuni errori algebrici nei calcoli... se applichi bene il tuo metodo su $N=2^k$ funziona ed è fornale. Infatti la somma è $\frac{2^k}{2}×(1+1/2+...+1/2^{k-1})=2^{k-1}×\frac{-\frac{1}{2^k}+1}{1-1/2}=2^k-1=N-1$.

Negli altri casi alcuni passaggi non sono leciti (quando non è una potenza di due e il valore del logaritmo non è intero...)

Grazie mille per la correzione, apprezzo molto. Si effettivamente ho sbagliato a calcolare un bel po' di cose. Riconsidererò il problema in generale seguendo i tuoi consigli

[AleBoschi03]

Comunque il tuo ragionamento può essere molto probabilmente usato, con opportune modifiche, mediante l'uso delle parti intere delle frazioni... bisogna fare un po' di conti ma magari con dovute modifiche può funzionare anche nel caso generale... Il metodo che si può applicare è però più semplice e privo di conti: ogni volta che viene disputato un incontro un giocatore viene squalificato: quindi verranno disputati $N-1$ incontri

[Stef2008]

Grazie mille per la correzione, apprezzo molto. Si effettivamente ho sbagliato a calcolare un bel po' di cose. Riconsidererò il problema in generale seguendo i tuoi consigli

Prego