SNS 2022/23 Matematica P.4

[MauroAlbe]

Ciao a chi sta leggendo questo messaggio. Vorrei sapere come impostereste il secondo punto di questo esercizio:

Per ogni numero reale negativo a<0 definiamo il polinomio
[math]F_a(x)=2x^3+ax+1
i) Dimostrate che [math]F_a ha un'unica radice reale negativa (può avere anche radici reali positive che non ci interessano). In seguito chiameremo [math]\phi(a) questa radice.
ii) Considerate la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:
[math]\begin{cases} a_0=a \\ a_{n+1}=\phi(a_n), & per\ n \ge 0\end{cases}
Fate vedere che la successione [math]a_n converge e calcolatene il limite.

Personalmente sono riuscito a risolvere il punto (i) senza troppe difficoltà, grazie alle formule di Viète-Girard. Per il punto (ii) ho calcolato il limite facendo questo ragionamento (ditemi se è corretto plz): pongo [math]\lim_{n \to \infty}a_n=l e se la successione converge anche [math]\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=l; a questo punto sostituisco sia la a sia la x con l in [math]2x^3+ax+1=0 e così ho [math]2l^3+l^2+1=0 che ha come soluzione l=-1. Non saprei però dimostrare in modo rigoroso la convergenza della serie. Ho provato addirittura con le formule di Cardano per le equazioni di terzo grado, ma uscivano calcoli spaventosi.

Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno perdere un po' del loro tempo su questo problema

[Sirio]

Il ragionamento che hai fatto sul punto (ii) è corretto, e dimostra che se il limite esiste allora è $-1$. Scrivo una traccia di una dimostrazione dell'esistenza del limite.

Supponiamo $a<-1$. Allora (salto le verifiche) si ha $F_a(a)<0$ e $F_a(-1)>0$, da cui per il teorema degli zeri segue $a<\phi(a)<-1$. Usando questo, si può dimostrare per induzione che (sempre nel caso $a<-1$) si ha che la successione degli $a_n$ è crescente, e quindi ammette un limite.

Nel caso $-1<a<0$ puoi dimostrare analogamente che la successione è decrescente (ergo ammette limite), e nel caso $a=-1$ la successione $a_n$ è costante.