Notiamo innanzitutto che il triangolo [math]A_1B_1C_1 è ottenuto riflettendo [math]ABC attorno a una retta [math]l per il suo ortocentro [math]H e applicando un'omotetia di fattore [math]\lambda in [math]H. Il caso in cui [math]l è parallela o perpendicolare a uno dei lati di [math]ABC si può trattare facilmente a parte. Studieremo ora la configurazione al variare di [math]\lambda.
Lemma 1. Se [math]B \in A_1B_1, allora [math]C \in A_1C_1.
Si ha, infatti, [math]\measuredangle A_1HC = \measuredangle(B_1C_1, AB) = \measuredangle(A_1B_1, BC) = \measuredangle A_1BC, quindi [math]A_1 \in (BHC), pertanto [math]\measuredangle HA_1C = \measuredangle HBC = \measuredangle HA_1C_1, da cui [math]C \in A_1C_1. Allo stesso modo, se [math]B_1 \in AB, allora [math]C_1 \in AC.
Siano, ora [math]Y = AC \cap A_1C_1 e [math]Z = AB \cap A_1B_1.
Lemma 2. [math]\frac{BZ}{ZB_1}=\frac{CY}{YC_1}.
Notiamo che [math]BZ e [math]CY, come segmenti orientati, hanno lunghezze lineari in [math]\lambda, mentre [math]ZB_1 e [math]YC_1 hanno lunghezze lineari in [math]\frac{1}{\lambda}, pertanto [math]\frac{BZ}{ZB_1}=\alpha \lambda \frac{\lambda+\beta}{\lambda+\gamma} e [math]\frac{CY}{YC_1}=\alpha' \lambda \frac{\lambda+\beta'}{\lambda+\gamma'} per opportuni coefficienti. Per il lemma 1, i due denominatori e i due denominatori si annullano nello stesso momento, quindi [math]\beta=\beta' e [math]\gamma=\gamma'. Inoltre, per [math]\lambda=1 si ha che entrambe le frazioni valgono [math]1, quindi [math]\alpha=\alpha'. Da ciò segue il lemma.
Sia ora [math]A_2B_2C_2 il triangolo simmetrico di [math]A_1B_1C_1 rispetto a [math]YZ. Chiaramente esiste una rotomotetia che manda [math]ABC in [math]A_2B_2C_2.
Lemma 3. Il centro di tale rotomotetia sta sull'intersezione di [math](ABC) e [math](A_2B_2C_2).
Sia [math]K = (AA_2YZ) \cap (ABC). Chiaramente [math]K è il centro di una rotomotetia che manda [math]ZB in [math]YC. Ma, essendo [math]\measuredangle B_2ZB = \measuredangle C_2YC si ha, per il lemma 2, che tale rotomotetia manda [math]ZBB_2 in [math]YCC_2, quindi [math]K è il centro di una rotomotetia che manda [math]BC in [math]B_2C_2, la quale manda anche [math]A in [math]A_2. Siccome [math]K \in (ABC), abbiamo anche [math]K \in (A_2B_2C_2).
Per questa rotomotetia, si ha che l'intersezione tra [math]BB_2 e [math]CC_2 è la seconda intersezione tra [math](ABC) e [math](A_2B_2C_2) e analogamente per le altre coppie, quindi [math]AA_2, [math]BB_2 e [math]CC_2 concorrono. Per il teorema di Desargues, [math]YZ, [math]BC e [math]B_2C_2 concorrono. Per simmetria, il punto di concorrenza sta anche su [math]B_1C_1, ma allora [math]ABC e [math]A_1B_1C_1 sono prospettici, come volevamo.