Numeri consecutivi

[G.kyudo]

Salve, per casualitá mi sono andato a trovare davanti ad un problema matematico abbastanza interessante che vorrei proporre in questo forum. Io sono stato capace di arrivare ad' una soluzione ma non sono riuscito a dimostrarla formalmente e in ogni caso mi sono divertito abbastanza a ragionarci sopra e volevo condividerlo con voi.

L'idea è la seguente:

Dati due numeri $ (a,b) $ $ > 1 $ ed $ (a,b) $$ \in $ $ \mathbb N $ trovare il minimo numero $ x $ della forma $ na + mb $ con $ (m,n) $ $ \in $ $ \mathbb N $ , in modo tale che tutti i suoi consecutivi possano essere anche essi scritti nella stessa forma.

Buon divertimento

[afullo]

Immagino che "tutti i suoi consecutivi" significhi "tutti i numeri più grandi", dal momento che di consecutivo ogni numero intero $ n $ ne ammette uno soltanto, cioè $ n+1 $.

Allora devi aggiungere l'ipotesi che $ a $e $ b $ siano primi tra loro, altrimenti qualunque numero non divisibile per il loro massimo comun divisore non sarà mai scrivibile in quella forma...

[G.kyudo]

Ciao afullo, si con "tutti i suoi consecutivi" mi rifervo a "tutti i numeri più grandi".

Il fatto che a e b siano coprimi è una condizione necessaria ovviamente ma pensavo che comunque fosse parte del problema ricavarsi anche quella parte, o in ogni caso lo rendesse piú divertente. Visto che sei arrivato fino a questo punto mi piacerebbe sapere se sei già arrivato ad una soluzione.

[afullo]

Ricordavo fosse stata già postata qui una quindicina di anni fa, ho appena trovato il topic: http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 191#p39191

[G.kyudo]

Grazie mille, io facendo alcuni ragionamenti e con l'aiuto di un compiter ero arrivato alla conclusione che il risultato dovesse essere la $ \varphi(ab) $ vale a dire la phi di Euler del prodotto. Come ho già detto mi sono basato su ragionamenti puramente intuitivi e sul controllo con alcuni casi particolari ma non sono arrivato ad una dimostrazione formale.

[afullo]

Figurati. Però non penso che in generale valga quel risultato, prova con a=4 e b=9: l'indice di Frobenius ab-a-b vale 23, mentre phi(36) vale 12.

[G.kyudo]

Ciao, hai ragione, siccome avevo provato solo per numeri primi il risultato veniva identico dovró essere piú cauto la prossima volta hehe


Grazie comunque di tutto