IUSS 2011 N 2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
luigino
Messaggi: 5
Iscritto il: 30 ago 2018, 14:21

IUSS 2011 N 2

Messaggio da luigino » 04 set 2018, 18:14

Dati due numeri primi p e q tali che q=p+2 con p >=5
Dimostrare che:
A. p+q divisibile per 6
B. Non esistono interi m n tali che $ m^2+n^2=(p+q)^2-1 $

Qualcunoi saprebbe dare una mano con il punto B?
Grazie

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: IUSS 2011 N 2

Messaggio da Gi. » 04 set 2018, 18:47

Per A. si può notare che se $ p \ge 5 $ allora è necessariamente della forma $ 6k+5 $ per qualche $ k \in \mathbb{N} $, infatti se fosse della forma $ 6k+1 $ si avrebbe $ q=(6k+1)+2=3(2k+1) $ e $ q $ non sarebbe primo, per cui $ q=(6k+5)+2 \equiv_{6} 1 $, da cui $ p+q \equiv_{6} 5+1 = 6 \equiv_{6} 0 $, ossia $ 6 \mid p+q $

Per B., invece, notiamo che $ p $ e $ q $ sono uno della forma $ 4a+1 $ e l'altro di quella $ 4b+3 $ (per qualche $ a,b \in \mathbb{N\setminus\{0\}} $), da cui $ 4 \mid p+q $ e allora $ m^2+n^2 \equiv_{4} 3 $, assurdo.

Roberto_Cella
Messaggi: 4
Iscritto il: 23 ago 2019, 12:56

Re: IUSS 2011 N 2

Messaggio da Roberto_Cella » 23 ago 2019, 19:08

Non ho capito perchè p ha forma 6k+5. me lo potresti spiegare?

Luca Milanese
Messaggi: 44
Iscritto il: 28 mag 2019, 19:32
Località: Borgo Hermada, Terracina (LT)

Re: IUSS 2011 N 2

Messaggio da Luca Milanese » 23 ago 2019, 19:31

Un primo p maggiore di 3 (cioè maggiore o uguale a 5) ovviamente non è divisibile nè per 2 né per 3, quindi è della forma 6k+1 o 6k+5. Ma se p fosse della forma 6k+1, allora q sarebbe 6k+3=3(2k+1), quindi non sarebbe primo. Quindi p è 6k+5.

Roberto_Cella
Messaggi: 4
Iscritto il: 23 ago 2019, 12:56

Re: IUSS 2011 N 2

Messaggio da Roberto_Cella » 23 ago 2019, 19:37

Luca Milanese ha scritto:
23 ago 2019, 19:31
Un primo p maggiore di 3 (cioè maggiore o uguale a 5) ovviamente non è divisibile nè per 2 né per 3, quindi è della forma 6k+1 o 6k+5. Ma se p fosse della forma 6k+1, allora q sarebbe 6k+3=3(2k+1), quindi non sarebbe primo. Quindi p è 6k+5.
Apposto, grazie

Rispondi