Disuguaglianza Forte

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Leonhard Euler
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Disuguaglianza Forte

Messaggio da Leonhard Euler » 10 lug 2019, 18:23

$ a,b,c>0 $, $ a+b+c=3 $:
$ \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3b^2+b+1}}+\frac{b}{\sqrt{3c^2+c+1}}+\frac{c}{\sqrt{3a^2+a+1}}+\frac{7(ab+bc+ca)}{10\sqrt{5}}\geq\frac{51}{10\sqrt{5}} $
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Davide Di Vora
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Re: Disuguaglianza Forte

Messaggio da Davide Di Vora » 14 lug 2019, 18:16

Dimostro per prima cosa che vale
$$\frac{1}{\sqrt{3x^2+x+1}}\ge \frac{17}{10\sqrt{5}}-\frac{7x}{10\sqrt{5}}$$
Noto che se $x>\frac{17}{7}$ vale
$$\frac{1}{\sqrt{3x^2+x+1}}\ge 0 \ge \frac{17}{10\sqrt{5}}-\frac{7x}{10\sqrt{5}}$$
e dunque in questo caso la disuguaglianza è vera. Mi resta il caso $0\le x \le \frac{17}{7}$. Elevando entrambi i membri al quadrato ottengo
$$\frac{1}{3x^2+x+1}- \frac{(17-7x)^2}{500}=\frac{-(x-1)^2(147x^2+371x-211)}{500(3x^2+x+1)}\ge 0$$
per $0\le x \le \frac{17}{7}$.
sfruttando quanto dimostrato ottengo
$$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{3b^2+b+1}}+\frac{7(ab+bc+ca)}{10\sqrt{5}}\ge \sum_{cyc} \left( \frac{17a}{10\sqrt{5}}-\frac{7ab}{10\sqrt{5}}\right)+\frac{7(ab+bc+ca)}{10\sqrt{5}}=\frac{51}{10\sqrt{5}}$$

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Leonhard Euler
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Re: Disuguaglianza Forte

Messaggio da Leonhard Euler » 15 lug 2019, 12:18

Si è corretta e sfrutta proprio l’idea che metto in spoiler.
Testo nascosto:
Si approssima la curva in questione con una retta tangente a qualche suo punto, nella maggior parte dei casi dove è garantita l’uguaglianza, qui in $ a=b=c=1 $. Questo metodo è conveniente in disuguaglianze particolarmente scomode quali la precedente.
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