Circonferenze nascoste

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Carlo42
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Circonferenze nascoste

Messaggio da Carlo42 » 07 lug 2019, 11:31

Sia ABC un triangolo con CA=CB e ∠ACB=120◦, e sia M il punto medio di
AB. Sia P un punto che varia sulla circonferenza circoscritta ad ABC, e sia Q il punto sul segmento
CP tale che QP=2QC. Si supponga che la retta passante per P e perpendicolare ad AB intersechi
la retta MQ in un unico punto N.
Dimostrare che esiste una circonferenza fissata tale che N giace su questa circonferenza per tutte
le possibili scelte di P.
Bonus: dimostrare che vale per ogni triangolo isoscele.

nicarepo
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Re: Circonferenze nascoste

Messaggio da nicarepo » 08 lug 2019, 15:07

Testo nascosto:
Basta dimostrare che $ \overline{PN} $ è costante. Tracciando il segmento $ \overline{CM} $ si vede che $ CMQ \simeq MPN $, infatti $ MC\|NP $ (per questo vale per i triangoli isosceli) e l'angolo in $ Q $ è lo stesso. Quindi $ PN:MC=QP:QC $ da cui la tesi.

Carlo42
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Re: Circonferenze nascoste

Messaggio da Carlo42 » 08 lug 2019, 15:54

Sì, è corretta:wink: la mia soluzione è un po' diversa ma sfrutta la stessa idea di fondo
Testo nascosto:
Per prima cosa ho dimostrato che il luogo dei punti Q è una circonferenza con un'omotetia di centro C e ragione 1/3, poi dalla similitudine fra CMQ e QPN ho ottenuto QN=2MQ, quindi un'altra omotetia di centro M e ragione 3 manda Q in N e dunque anche N descrive una circonferenza al variare di P

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