Polinomi e congruenze?

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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alicemgn
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Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 14 giu 2019, 14:37

Sia [math] un polinomio a coefficienti interi. Se [math] viene diviso per [math] dà come resto 4; se viene diviso per [math] dà come resto 8; se viene diviso per [math] il resto è 13. Sia quindi [math] il resto della divisione di [math] per [math]. Quanto vale [math]?

Come si risolve? Che strategie bisogna adottare? Ho pensato alle congruenze ma non ho idea su come impostare il problema.

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Lasker
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da Lasker » 14 giu 2019, 14:49

$P(x)=Q(x)(x+2)(x-2)(x+3)+r(x)$, di che grado è $r(x)$ al massimo? Quanto valgono $r(-2), r(2), r(-3)$? E allora quale deve per forza essere $r(x)$?
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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alicemgn
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 14 giu 2019, 15:38

Se [math] ha grado $ n $, allora [math] ha grado $ n-3 $, mentre [math] ha grado massimo [math] giusto?
Quindi [math], [math] e [math]. E ora?

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Lasker
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da Lasker » 14 giu 2019, 16:30

No il grado di $r$ non è quello, riprova :)
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 14 giu 2019, 16:51

Mm... Mannaggia :lol:
Se [math] ha grado $ n $ e divido per [math] che è di terzo grado posso dividere [math] fino al suo termine di grado 3... Quindi [math] ha grado massimo 2?

matpro98
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da matpro98 » 14 giu 2019, 17:07

alicemgn ha scritto:
14 giu 2019, 16:51
Quindi [math] ha grado massimo 2?
Esatto!

alicemgn
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 14 giu 2019, 19:17

8) Okay!! E adesso? :? Cosa mi serve sapere che [math] ha come grado massimo 2? Scusate ma non ho mai affrontato questo tipo di problemi, questi ragionamenti sono completamente nuovi per me :)

matpro98
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da matpro98 » 14 giu 2019, 19:33

Hai 3 valori vincolati... cerca il principio di identità dei polinomi

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Lasker
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da Lasker » 15 giu 2019, 15:11

Scrivi $r(x)=ax^2+bx+c$ e sostituisci valori di $x$ per ricavare $a,b,c$ con un sistema lineare 3x3
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 15 giu 2019, 22:36

Ok. Provo:
So che:
[math]
[math]
[math]
Quindi, [math], [math], [math].
Perciò, se [math], per [math] segue che [math], [math], [math].
Quindi, avendo scoperto prima che [math], metto a sistema le tre equazioni:
$
\begin{cases}
a(2)^{2}+b(2)+c=8 \\
a(-2)^{2}+b(-2)+c=4 \\
a(-3)^{2}+b(-3)+c=13\\
\end{cases}
$ = $ \begin{cases}
4a+2b+c=8\\
4a-2b+c=4\\
9a-3b+c=13\\
\end{cases} $
da cui ricavo [math], [math], [math].
Perciò [math] e sostituendo, ricavo che [math].
Spero sia giusto :D

matpro98
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da matpro98 » 15 giu 2019, 22:41

Non ho controllato i conti numerici, ma il ragionamento è giusto

alicemgn
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 16 giu 2019, 11:56

Ok, grazie mille! Giusto per curiosità, come potevo applicare il principio di identità dei polinomi?

matpro98
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da matpro98 » 16 giu 2019, 12:13

Esattamente in quel modo: $r$ è di secondo grado e hai 3 valori, quindi $r$ coincide con $2x^2+x-2$

alicemgn
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da alicemgn » 16 giu 2019, 13:39

Ah okay, grazie mille :D

TeoricodeiNumeri
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Re: Polinomi e congruenze?

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 19 lug 2019, 10:57

Vi propongo un'altra maniera di vedere il problema. In pratica ci viene chiesto:
sia $p$ un polinomio a coefficienti interi. Sapendo che
$\begin{cases}
p\equiv 4 (\mod x+2)\\
p\equiv 8 (\mod x-2)\\
p\equiv 13 (\mod x+3)\\
\end{cases}$
e detto $r$ il resto di $p$ per $(x+2)(x-2)(x+3)$, determinare quanto vale $r(20)$.
Il fatto che $\mathbb{R}[x]$ sia un dominio d'integrità a ideali principali (conseguenza del fatto che è un dominio euclideo) proprio come $\mathbb{Z}$ ci permette di fare alcuni interessantissimi parallelismi fra polinomi e interi.
In particolare uno di questi che ha una potentissima applicazione in questo esercizio è proprio l'artistico $Teorema \hspace{1mm} cinese\hspace{1mm} del\hspace{1mm} resto$ che garantisce l'esistenza e unicità della soluzione di un qualsiasi sistema che verifichi determinate proprietà (non entro nello specifico), tra cui rientra banalmente il sistema di cui sopra.
La tecnica per affrontare questo problema è quindi molto standard: anzi, in questo caso, risulterà molto più semplice del caso cugino per gli interi.
Difatti la tecnica per affrontare questo problema è la seguente:
troviamo delle soluzioni particolari di
1)$(x-2)(x+3)b_1 +(x+2)j_1=4$;
2)$(x+2)(x+3)b_2 +(x-2)j_2 =8$;
3)$(x+2)(x-2)b_3 +(x+3)j_3=13$.
La somma $(x-2)(x+3)b_1 +(x+2)(x+3)b_2 +(x+2)(x-2)b_3$ ridotta $\mod (x+2)(x-2)(x+3)$ è il resto dalla divisione per $(x+2)(x-2)(x+3)$.
E' facile notare che ci sono soluzioni particolari in cui $b_1=-1$, $b_2=\frac{2}{5}$ e $b_3=\frac{13}{5}$ da cui
$r=-(x^2 +x-6)+\frac{2}{5}(x^2 +5x+6)+\frac{13}{5}(x^2 -4)$ da cui $r=2x^2 +x-2$ e quindi $r(20)=2(20)^2 +20-2=818$

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