4. Polinomio di terzo grado

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Lance
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4. Polinomio di terzo grado

Messaggio da Lance » 29 dic 2018, 14:58

Sia $ p(x) = x^3+ax^2+bx+c $ un polinomio con tre radici reali positive $ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $. Trovare una condizione necessaria e sufficiente su $ a,b,c $ in modo che $ \lambda_1 = \cos \angle A,\lambda_2 = \cos \angle B,\lambda_3 = \cos \angle C $ per qualche triangolo $ \triangle ABC $.

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Leonhard Euler
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Re: 4. Polinomio di terzo grado

Messaggio da Leonhard Euler » 30 dic 2018, 14:18

Per adesso mi limito a riportare dei bound sui tre parametri del problema, a seguito completerò la dimostrazione.
Il primo fatto importante da sfruttare è che le radici sono positive, ovvero $ 0<\angle A,\angle B,\angle C<\pi/2 $. Inoltre per le relazioni radici-coefficienti $ a,c<0 $, $ b>0 $
Usando la disuguaglianza di Jensen sulle funzioni concave, in particolare sulla funzione $ y=\cos x $ che è concava in $ [0,\pi/2] $, con variabili $ A,B,C $:
$ \cos \angle A+\cos \angle B+\cos \angle C=-a≤3\cos ((\angle A+\angle B+\angle C)/3)=3/2 $
Da cui la prima condizione:
[math]
Per $ AM≥GM $ sui vettori $ (\cos \angle A,\cos \angle B,\cos \angle C) $
$ \cos \angle A×\cos \angle B×\cos \angle C=-c≤-a^3/27≤1/8 $
Da cui la seconda condizione:
$ -1/8≤c<0 $
Per la disuguaglianza di Maclaurin:
$ b=\sum{\cos \angle A×\cos \angle B}≤3(a/3)^2≤3/4 $
Da cui l'ultima condizione:
$ 0<b≤3/4 $
Bisogna adesso accertarsi che i casi limite vengano effettivamente raggiunti e che non esistano quindi per $ a,b,c $ costanti migliori.
Il polinomio di terzo grado $ (x-\cos \angle 60)^3 $ mostra che queste costanti siano le migliori possibili.
Ultima modifica di Leonhard Euler il 30 dic 2018, 16:03, modificato 1 volta in totale.
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Lance
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Re: 4. Polinomio di terzo grado

Messaggio da Lance » 30 dic 2018, 15:22

I bound più o meno sono quelli, solo che per $ b $ mi sa che hai applicato cauchy-schwarz al contrario :? . In ogni caso, le relazioni che hai trovato non mi sembrano sufficienti... scelti a,b,c a caso negli intervalli che hai trovato non è detto che verifichino l'ipotesi del problema. Devi quindi trovare un'ulteriore relazione tra i coefficienti

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Leonhard Euler
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Re: 4. Polinomio di terzo grado

Messaggio da Leonhard Euler » 30 dic 2018, 15:51

Sì, chiaramente le condizioni precedenti, se non sono presenti sviste, sono solamente necessarie, ad ogni modo appena avró terminato la revisione dei problemi per il Winter completeró la dimostrazione aggiungendo le condizioni sufficienti. Nel frattempo ho corretto la svista su $ b $.
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