3. Ancora limiti

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
Rispondi
nicarepo
Messaggi: 29
Iscritto il: 23 lug 2018, 09:20

3. Ancora limiti

Messaggio da nicarepo » 29 dic 2018, 10:56

Si calcoli il seguente limite senza l'uso dei teoremi di Taylor o de l'Hopital (quindi solo con limiti notevoli o teoremi sui limiti):

$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x- \sin x }{x^3} $

P.S. Come si centra l'equazione?

matpro98
Messaggi: 455
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: 3. Ancora limiti

Messaggio da matpro98 » 29 dic 2018, 12:57

nicarepo ha scritto:
29 dic 2018, 10:56
P.S. Come si centra l'equazione?
Con due dollari: $$esempio$$

Lance
Messaggi: 22
Iscritto il: 04 apr 2018, 18:46

Re: 3. Ancora limiti

Messaggio da Lance » 29 dic 2018, 13:06

Il limite, che chiameremo $ L $ è equivalente a $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2x/2)-2sin(x/2)(1-2sin^2(x/4)}{8(x/2)^3} $ (ho semplicemente scritto $ 2(x/2) $ al posto di $ x $ e sviluppato). $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2x/2)-2sin(x/2)(1-2sin^2(x/4)}{8(x/2)^3} = L/4 + \frac{2sin (x/2) sin^2(x/4)}{4 (x/2)^3} = L/4 + 1/8 $ da cui $ L = 1/6 $

nicarepo
Messaggi: 29
Iscritto il: 23 lug 2018, 09:20

Re: 3. Ancora limiti

Messaggio da nicarepo » 29 dic 2018, 13:36

Grazie matpro98! La soluzione è giusta, a te il prossimo!

Comunque il problema serviva a mettere in luce il fatto che tutti i limiti si possono risolvere con i cosiddetti limiti notevoli: de l'Hopital (come Taylor) è solo una "verifica veloce". Tutto discende ovviamente dai teoremi del confronto, unicità, i teoremi delle operazioni etc... La cosa per quanto scontata non viene sottolineata (o almeno per me sia al liceo, che adesso nel corso di analisi I).

Rispondi