Somma di numeri coprimi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Leonhard Euler
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Iscritto il: 01 gen 2018, 15:12

Somma di numeri coprimi

Messaggio da Leonhard Euler »

Per quali numeri interi [math] la somma dei numeri coprimi ad esso risulta suo multiplo?
Fra i numeri coprimi ad un numero è da considerarsi anche [math].
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)
Parmenide
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Iscritto il: 30 mag 2018, 21:24

Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Parmenide »

Bisogna considerare solo i numeri coprimi con $n$ minori di $n$ oppure anche quelli maggiori?
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Fenu
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Iscritto il: 10 set 2017, 16:34

Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Fenu »

Suppongo che si tratti di numeri inferiori ad $n$ altrimenti la somma va a $+\infty$.
Se $a$ e' coprimo con $n$, allora anche $(n-a)$ lo sarà. Supponiamo infatti che $n, n-a$ abbiamo un fattore $d$ in comune $\Rightarrow d|n-(n-a)=a$ e dunque si avrebbe $(a, n)\neq 1$.
Dunque, se i numeri coprimi con $n$ sono in numero pari, cosa che avviene per tutti gli $n\neq2$ in quanto $\varphi(n>2)$ e' pari banalmente, possiamo prendere le coppie $(a, n-a)$ che sommano ad $n$.
Risposta: $\fbox{Tutti gli $n>2$}$
Parmenide
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Iscritto il: 30 mag 2018, 21:24

Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Parmenide »

Chiedevo proprio perché avevo il problema della somma a $+\infty$, per il resto la mia soluzione è uguale
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