Sistema quadratico
Sistema quadratico
Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: Sistema quadratico
Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:
$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$
dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
Testo nascosto:
$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$
dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Sistema quadratico
Non ho capito la cosa delle cotangenti, puoi spiegare?
Re: Sistema quadratico
Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Sistema quadratico
Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibile la prima equazione). Ora, se $\gamma>0$ ho tre angoli positivi con somma $\pi$, che quindi sono gli angoli di un triangolo; se invece $\gamma<0$, cioè $\alpha+\beta>\pi$, sostituisco $(x,y,z)$ con $(-x,-y,-z)$, che è ancora una soluzione del sistema, e i nuovi angoli sono $\alpha'=\pi-\alpha$, $\beta'=\pi-\beta$ e $\gamma'=\pi-(\pi-\alpha)-(\pi-\beta)=\alpha+\beta-\pi$, che come prima sono tutti positivi e con somma $\pi$.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Sistema quadratico
Grazie mille, credo di aver capito
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Re: Sistema quadratico
Ciao, mi potresti dire da cosa hai dedotto che x,y,z erano le cotangenti di un triangolo ?spugna ha scritto: ↑26 set 2018, 14:13 Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:Testo nascosto:
$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$
dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
Re: Sistema quadratico
è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.
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Re: Sistema quadratico
Grazie mile per la risposta.Lasker ha scritto: ↑28 gen 2019, 16:10 è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.