N-esimo problema di tor vergata

[Maionsss]

Rieccomi con un altro problema preso dalla gara a squadre di tor vergata 2015.
Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti reali tale che$ p(p(x)) = (p(x)) ^{2016} +2015 $.
Determinare $ p(49) $.

Testo nascosto:

sono riuscito solamente a determinare il grado di $ p(x) $ tramite l'identità tra polinomi, poi mi sono bloccato. Spero non bisogni ricorrere alla derivate anche in questo problema (come nei precedenti)

[Lasker]

Sai dirmi quale deve necessariamente essere il polinomio che vuole (usando il fatto che il testo ti dice che $p(49)$ è unico ti basta trovarne uno)? Non è per nulla complicato indovinarlo ad occhio al primo tentativo.

Il fatto fondamentale che io ho usato per una vera dimostrazione è che

Testo nascosto:

Se hai due polinomi $p$ e $q$ tali che $p(t)=q(t)$ per infiniti valori di $t$ allora i due polinomi coincidono. Se non conosci questo fatto dimostralo che non è difficile

Le derivate stavolta non c'entrano

[Maionsss]

Perdonami ma non ho capito bene la tua domanda

[Lasker]

Beh se spari un polinomio $p$ a caso sperando che soddisfi la condizione, quale provi per primo?

[Maionsss]

Un polinomio costante?

[Lasker]

Non esistono costanti reali che funzionano però! Io cercavo di suggerire

Testo nascosto:

$p(x)=x^{2016}+2015$

[Maionsss]

Ehm... diciamo che non sarebbe stato il primo polinomio che avrei provato
Tu ci sei arrivato ad occhio o hai fatto qualche verifica prima?

[Lasker]

Beh si vede
La dimostrazione che deve essere quello per forza non è malissimo... se supponi che $p$ non sia costante (caso che puoi escludere a parte con una disuguaglianza stupida) allora l'immagine di $p$ contiene infiniti reali $t$, ma per questi reali vale $p(t)=t^{2016}+2015$ e concludi con il lemmino sopra

[Maionsss]

Va bene, grazie ancora una volta