Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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da Maionsss » 25 mag 2018, 22:35
Rieccomi con un altro problema preso dalla gara a squadre di tor vergata 2015.
Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti reali tale che$ p(p(x)) = (p(x)) ^{2016} +2015 $.
Determinare $ p(49) $.
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Lasker
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da Lasker » 25 mag 2018, 22:52
Sai dirmi quale deve necessariamente essere il polinomio che vuole (usando il fatto che il testo ti dice che $p(49)$ è unico ti basta trovarne uno)? Non è per nulla complicato indovinarlo ad occhio al primo tentativo.
Il fatto fondamentale che io ho usato per una vera dimostrazione è che
Le derivate stavolta non c'entrano
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Maionsss
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da Maionsss » 25 mag 2018, 23:14
Perdonami ma non ho capito bene la tua domanda

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Lasker
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da Lasker » 25 mag 2018, 23:17
Beh se spari un polinomio $p$ a caso sperando che soddisfi la condizione, quale provi per primo?
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da Lasker » 25 mag 2018, 23:24
Non esistono costanti reali che funzionano però! Io cercavo di suggerire
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da Maionsss » 25 mag 2018, 23:29
Ehm... diciamo che non sarebbe stato il primo polinomio che avrei provato

Tu ci sei arrivato ad occhio o hai fatto qualche verifica prima?
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Lasker
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da Lasker » 25 mag 2018, 23:35
Beh si vede
La dimostrazione che deve essere quello per forza non è malissimo... se supponi che $p$ non sia costante (caso che puoi escludere a parte con una disuguaglianza stupida) allora l'immagine di $p$ contiene infiniti reali $t$, ma per questi reali vale $p(t)=t^{2016}+2015$ e concludi con il lemmino sopra
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