Rieccomi con un altro problema preso dalla gara a squadre di tor vergata 2015.
Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti reali tale che$ p(p(x)) = (p(x)) ^{2016} +2015 $.
Determinare $ p(49) $.
Testo nascosto:
sono riuscito solamente a determinare il grado di $ p(x) $ tramite l'identità tra polinomi, poi mi sono bloccato. Spero non bisogni ricorrere alla derivate anche in questo problema (come nei precedenti)
Sai dirmi quale deve necessariamente essere il polinomio che vuole (usando il fatto che il testo ti dice che $p(49)$ è unico ti basta trovarne uno)? Non è per nulla complicato indovinarlo ad occhio al primo tentativo.
Il fatto fondamentale che io ho usato per una vera dimostrazione è che
Testo nascosto:
Se hai due polinomi $p$ e $q$ tali che $p(t)=q(t)$ per infiniti valori di $t$ allora i due polinomi coincidono. Se non conosci questo fatto dimostralo che non è difficile
Le derivate stavolta non c'entrano
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
Beh se spari un polinomio $p$ a caso sperando che soddisfi la condizione, quale provi per primo?
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
Non esistono costanti reali che funzionano però! Io cercavo di suggerire
Testo nascosto:
$p(x)=x^{2016}+2015$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
Beh si vede
La dimostrazione che deve essere quello per forza non è malissimo... se supponi che $p$ non sia costante (caso che puoi escludere a parte con una disuguaglianza stupida) allora l'immagine di $p$ contiene infiniti reali $t$, ma per questi reali vale $p(t)=t^{2016}+2015$ e concludi con il lemmino sopra
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
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Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?