Diagonali

[il filosofo]

Dimostrare che in un 2n-agono convesso c‘é almeno una diagonale non parallela ad alcun lato.

[pipotoninoster]

Testo nascosto:

Un [math]2n-gono ha [math]\frac{2n(2n-3)}{2}=n(2n-3) diagonali. il numero di diagonali parallele a un dato lato è [math]\le n-2. Quindi il numero totale di diagonali parallele a qualche lato è al massimo [math]2n(n-2). Siccome [math]2n(n-2)<n(2n-3), una delle diagonali non è parallela a nessun lato.

[UW54]

Il fatto che il numero massimo di diagonali parallele ad un lato sia n-2 è una cosa valida per tutti i poligoni, è proprio una regola?

[Sirio]

Tu fai conto che una diagonale ha per estremi due vertici. Due delle diagonali che interessano a noi non possono avere un estremo in comune, perché allora avremmo tre vertici del poligono allineati e questo va contro l'ipotesi di convessità del poligono (a meno che non siano tre vertici consecutivi, ma allora quei segmenti non sarebbero diagonali bensì lati). Quindi, alla fine della fiera, abbiamo che le diagonali parallele a un lato sono al più il numero di vertici tolti i due estremi del lato incriminato, diviso due, ovvero $\frac{2n-2}2=n-1$. Togliamo un'altro $1$ perché in questo conteggio abbiamo sicuramente contato un lato che quindi non è una diagonale (il lato opposto a quello incriminato), per arrivare all'$n-2$ di prima.