Algebra learning
Re: Algebra learning
(Consiglio: se provi a scrivere le tue soluzioni come una catena di disuguaglianze abcd >= coso1 >= coso2 >= ... >= 3, ti accorgi subito quando hai un problema del genere.)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Algebra learning
Il problema diceva $a,b,c,d$ reali positivi...scambret ha scritto: ↑04 mar 2018, 21:01Fino a $a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 12$ ok.
Anche questo è giusto: $a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 4abcd$
Ma supponi che $(a,b,c,d)=(3,0,0,0)$. Le due disuguaglianze sono verificate, ma non $abcd \geq 3$
In generale, se hai $X \geq Z$ e $Y \geq Z$, è difficile concludere $X \geq Y$
Re: Algebra learning
Allora prendi $b,c,d$ molto piccoli e di nuovo $abcd <3$
Re: Algebra learning
Fortunatamente i problemi sono piaciuti 
Hint sui problemi 13
14.1. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ tali che per ogni $x \in \mathbb{Q}^+$ soddisfano
$$f(x+1)=f(x)+1 \ \mathrm{ e } \ f(x^3)=[f(x)]^3$$
14.2. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ soddisfano
$$f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y)$$
14.3. Sia $F$ l’insieme di tutte le funzioni $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ che soddisfano $f(3x) \geq f(f(2x))+x$ per ogni $x>0$. Trovare il più grande reale positivo $a$ tale che per ogni funzione $f \in F$ si ha che $f(x) \geq ax$.

Hint sui problemi 13
Testo nascosto:
$$f(x+1)=f(x)+1 \ \mathrm{ e } \ f(x^3)=[f(x)]^3$$
14.2. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ soddisfano
$$f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y)$$
14.3. Sia $F$ l’insieme di tutte le funzioni $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ che soddisfano $f(3x) \geq f(f(2x))+x$ per ogni $x>0$. Trovare il più grande reale positivo $a$ tale che per ogni funzione $f \in F$ si ha che $f(x) \geq ax$.
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Re: Algebra learning
14.2
Le soluzioni sono $f(x)=x$, $f(x)=0$ e $f(x)=2$, che sostituendo verificano.
Sia P(x;y) l'equazione funzionale del testo.
Da P(0;0) ottengo $f(0)=0$ o $f(0)=2$. Suddivido il problema in due casi:
1. $f(0)=2$
Da $P(x;0)$ ottengo la soluzione $f(x)=2$.
2. $f(0)=0$
Da $P(2;2)$ ottengo $f(2)=2$ o $f(2)=0$, mentre da $P(1;1)$ ottengo $f(2)=-f(1)^2+3f(1)$. Ci sono dunque i seguenti casi:
a. $f(1)=0$ e $f(2)=0$
Da $P(x;1)$ ottengo
$$f(x+1)=2f(x)$$
Da $P(1;-1)$ ottengo $f(-1)=0$
Da $P(x+1;y)$, utilizzando anche il testo, ottengo
$$2f(xy)+f(y)=f(xy+y)$$
ma ponendo nell'ultima relazione $-1\longleftarrow x$ ottengo la soluzione $f(x)=0$.
b. $f(1)=3$ e $f(2)=0$
Da $P(1;-1)$, $P(-1;-1)$ e $P(2;-1)$ ottengo un assurdo e quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
c. $f(1)=1$ e $f(2)=2$
Da $P(x;1)$ ottengo
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Da $P(x+1;y)$ ottengo
$$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+y)+f(x)$$
Sfruttando ora il testo ottengo
$$f(xy)+f(y)=f(xy+y)$$
Siano ora $a$ e $b$ due reali qualsiasi con $a\ne 0$.
Pongo ora $y \longleftarrow a$ e $x \longleftarrow \frac{b}{a}$ e ottengo
$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$
ma $f(0)=0$ e quindi
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
$\forall x,y$ reali.
Da $P(x;x)$ ottengo ora $f(x^2)=f(x)^2\ge 0$ e quindi $f$ non è densa nel piano, da cui segue che l'unica soluzione dell'equazione di Cauchy è $f(x)=k x$, ma essendo $f(1)=1$ ottengo che l'unica soluzione in questo caso è $f(x)=x$.
d. $f(1)=2$ e $f(2)=2$
Da $P(x;1)$ ottengo $f(x)=2$, che è assurdo poichè $f(0)=0$ e quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
Le soluzioni sono $f(x)=x$, $f(x)=0$ e $f(x)=2$, che sostituendo verificano.
Sia P(x;y) l'equazione funzionale del testo.
Da P(0;0) ottengo $f(0)=0$ o $f(0)=2$. Suddivido il problema in due casi:
1. $f(0)=2$
Da $P(x;0)$ ottengo la soluzione $f(x)=2$.
2. $f(0)=0$
Da $P(2;2)$ ottengo $f(2)=2$ o $f(2)=0$, mentre da $P(1;1)$ ottengo $f(2)=-f(1)^2+3f(1)$. Ci sono dunque i seguenti casi:
a. $f(1)=0$ e $f(2)=0$
Da $P(x;1)$ ottengo
$$f(x+1)=2f(x)$$
Da $P(1;-1)$ ottengo $f(-1)=0$
Da $P(x+1;y)$, utilizzando anche il testo, ottengo
$$2f(xy)+f(y)=f(xy+y)$$
ma ponendo nell'ultima relazione $-1\longleftarrow x$ ottengo la soluzione $f(x)=0$.
b. $f(1)=3$ e $f(2)=0$
Da $P(1;-1)$, $P(-1;-1)$ e $P(2;-1)$ ottengo un assurdo e quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
c. $f(1)=1$ e $f(2)=2$
Da $P(x;1)$ ottengo
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Da $P(x+1;y)$ ottengo
$$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+y)+f(x)$$
Sfruttando ora il testo ottengo
$$f(xy)+f(y)=f(xy+y)$$
Siano ora $a$ e $b$ due reali qualsiasi con $a\ne 0$.
Pongo ora $y \longleftarrow a$ e $x \longleftarrow \frac{b}{a}$ e ottengo
$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$
ma $f(0)=0$ e quindi
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
$\forall x,y$ reali.
Da $P(x;x)$ ottengo ora $f(x^2)=f(x)^2\ge 0$ e quindi $f$ non è densa nel piano, da cui segue che l'unica soluzione dell'equazione di Cauchy è $f(x)=k x$, ma essendo $f(1)=1$ ottengo che l'unica soluzione in questo caso è $f(x)=x$.
d. $f(1)=2$ e $f(2)=2$
Da $P(x;1)$ ottengo $f(x)=2$, che è assurdo poichè $f(0)=0$ e quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
Re: Algebra learning
14.3.
Testo nascosto:
Ultima modifica di Pit il 09 apr 2018, 21:31, modificato 1 volta in totale.
Nessuno 

Re: Algebra learning
In concomitanza con le EGMO vi propongo dei problemi secondo me alquanto istruttivi.
Hint sui problemi 14
15.1. Siano $a$ e $b$ due numeri reali non negativi con $a \geq b$. Dimostrare che
$$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt[3]{a^3+b^3} + \sqrt[4]{a^4+b^4} \leq 3a+b$$
15.2. Siano $a, b, c$ lunghezze del triangolo con $a+b+c=1$ e sia $n \geq 2$ un intero. Dimostrare che
$$\sqrt[n]{a^n+b^n} + \sqrt[n]{b^n+c^n} + \sqrt[n]{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$
15.3. $a, b, c \geq 0$. Dimostrare che
$$\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{10}{(a+b+c)^2}$$
Hint sui problemi 14
Testo nascosto:
$$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt[3]{a^3+b^3} + \sqrt[4]{a^4+b^4} \leq 3a+b$$
15.2. Siano $a, b, c$ lunghezze del triangolo con $a+b+c=1$ e sia $n \geq 2$ un intero. Dimostrare che
$$\sqrt[n]{a^n+b^n} + \sqrt[n]{b^n+c^n} + \sqrt[n]{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$
15.3. $a, b, c \geq 0$. Dimostrare che
$$\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{10}{(a+b+c)^2}$$
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Re: Algebra learning
Provo il 15.1 (ma non so se è giusta)
Testo nascosto:
Re: Algebra learning
Spero che questi problemi vi siano piaciuti. In particolare, spero che ricorderete questo lemma che secondo me è estremamente importante (in spoiler).
Hint sui problemi 15
16.1. Trovare tutti i polinomi $P$ che soddisfano $2P(2x^2-1)=[P(x)]^2-2$
16.2. Trovare tutti i polinomi $P$ che soddisfano $P(x^2+1)=[P(x)]^2+1$ per ogni $x$
16.3. Un polinomio $P$ ha la proprietà che per ogni $y \in \mathbb{Q}$ esiste un $x \in \mathbb{Q}$ tale che $P(x)=y$. Dimostra che $P$ è un polinomio affine.
Hint sui problemi 15
Testo nascosto:
16.2. Trovare tutti i polinomi $P$ che soddisfano $P(x^2+1)=[P(x)]^2+1$ per ogni $x$
16.3. Un polinomio $P$ ha la proprietà che per ogni $y \in \mathbb{Q}$ esiste un $x \in \mathbb{Q}$ tale che $P(x)=y$. Dimostra che $P$ è un polinomio affine.
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