Rettangolo particolare

[nuoveolimpiadi1999]

E’ particolare questo rettangolo perché non è un quadrato e le sue dimensioni (espresse da numeri interi) sono tali che uno dei due numeri che esprimono area e perimetro (il primo in cm2, il secondo in cm) è il doppio dell’altro. Quali sono le dimensioni del rettangolo particolare?

Indicare procedimento risolutivo il più chiaro e semplice possibile. Grazie

[lidialidia]

xy= 4(x+y) con x>y
l'area è un multiplo di 4. Non resta che provare
8,12,16,20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108.....
vanno bene 72= 4( 12+6) e 100= 4( 20+5) quindi il rettangolo ha dimensioni 12 e 6 oppure 20 e 5.

[TheRoS]

Questa però non è una dimostrazione. Cioè tu devi dimostrare che i casi sono solo quelli (e chiaramente non puoi verificarli tutti).
$xy=4(x+y)$, ciò significa che $4x+4y-xy=0$ ovvero $(x-4)(y-4)=16$. A questo punto 16 può essere scomposto come $4\cdot 4$, $1\cdot 16$ e $2\cdot 8$. Il primo caso è un quadrato e lo escludi, dal secondo ottieni $x-4=16$ e $y-4=1$ da cui ottieni $x=20$ e $y=5$; dal terzo ricavi invece che $x=12$ e $y=6$.

[lidialidia]

ok ma come arrivi a (x-4)(y-4)= 16 da xy= 4(x+y)?

[TheRoS]

$4x+4y-xy=0\Longrightarrow xy-4x-4y=0\Longrightarrow (x-4)(y-4)-16=0\Longrightarrow (x-4)(y-4)=16$

[lidialidia]

Continuo a non capire. Non capisco come arrivi a ( x-4)(y-4)=16 Metti in evidenza? aggiungi ad ambedue i membri? Scusami, fammi capire quale regola applichi

[lidialidia]

Non mi sembra molto coerente. Ci sei arrivato perché io ti avevo indicato le soluzioni.

[TheRoS]

Si chiama scomposizione polinomiale: in questo caso scomponi un polinomio a due variabili come prodotto di due polinomi. Che torna è oggettivo perché se svolgi il prodotto effettivamente ottieni il risultato voluto e ha senso; forse la tua domanda è: "Come fa a venirmi in mente una scomposizione di questo tipo?" Per questa scomposizione sinceramente ho fatto un po' a logica; mi compare 4 due volte e unito a $x$ e $y$ e il termine $xy$ allora mi è venuto in mente di portare $x$ e $y$ ciascuno in un polinomio e di attribuire a ciascuno di questi un fattore quattro. Così, tenendo conto dei segni, ho ottenuto che un abbozzo del polinomio poteva essere $(x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16$. Siccome so che $xy-4x-4y=0$, allora $(x-4)(y-4)=16$ e da qua il ragionamento successivo. Per altre scomposizioni ci sono invece delle skills precise (come ad esempio raccoglimenti e individuare quadrati di binomi....). Spero tu abbia capito

[lidialidia]

Certo conosco benissimo la scomposizione. Diciamo che potrebbe essere coerente aver aggiunto ai due membri 16 per il I° principio di equivalenza.
xy-4x-4y= 0 aggiungo ad ambedue i membri 16 poi faccio la messa in evidenza parziale y(x-4) - 4(x-4) = 16
poi raccolgo x-4 e ottengo (x-4)(y-4)=16. Mi era venuto in mente ma ragionavo più su somma e prodotto di due numeri cercando di impostare una qualche equazione. Alla fine ho provato con i multipli di 4 ed effettivamente ne sono venute fuori due coppie ma, come dici tu, era dimostrare che non ne esistessero altre che era poco accettabile. Comunque grazie per la dritta.