Esercizzzietto

[RiccardoKelso]

Risolvere negli interi positivi $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{y+x}=6$

[Salvador]

Ispirata a questa ma piuttosto diversa per risoluzione (own, spero non sia banale):

Risolvere negli interi positivi l'equazione

$$ \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} = 3$$

[PG93]

Ci provo...

Testo nascosto:

Si ha per Titu's lemma:
$$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(x+z+y)}=\frac{x+y+z}{2}$$
con l'uguaglianza se e solo se $x=y=z$. Perciò se per $x,y,z\in\mathbb{N^*}$ si ha $x+y+z>6$, allora la terna $(x,y,z)$ non è soluzione. Si provano allora tutte le terne possibili, e finalmente l'unica terna di interi positivi che soddisfa l'uguaglianza è $(2,2,2)$.