Finalmente l'ho risolto!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gerald Lambeau
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Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Gerald Lambeau » 03 gen 2018, 11:19

Vediamo se chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me se lo ricorda:
trovare infinite coppie $(x, y) \in \mathbb{Q^2}$ tali che $x^3+y^3=9$;
divertitevi.

PS: non so se è già passato sul forum, ma non sono riuscito a cercare bene perché se inserisco l'equazione mi considera i caratteri come "parole troppo corte"; non sarebbe possibile aggiungere un tipo di ricerca "per equazione"?
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Federico II
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Federico II » 03 gen 2018, 13:01

Se la cosa può confortarti, ad un orale in SNS hanno chiesto di esprimere in funzione di un parametro tutti i punti a coordinate razionali in una generica curva polinomiale.
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Gerald Lambeau
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Gerald Lambeau » 03 gen 2018, 14:37

Oddio, non penso di averli trovati tutti in questo problema, ma la notizia mi conforta ugualmente XD.
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Talete
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Talete » 05 gen 2018, 15:53

Gerald Lambeau ha scritto:
03 gen 2018, 11:19
chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me

Sono io?
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Gerald Lambeau
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Gerald Lambeau » 05 gen 2018, 17:43

Talete ha scritto:
05 gen 2018, 15:53
Gerald Lambeau ha scritto:
03 gen 2018, 11:19
chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me

Sono io?
Tu, l'altro tizio qui sopra e Simone.
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Troleito br00tal » 06 gen 2018, 13:06

Beh, sarà stata una curva di grado 2, visto che altrimenti è falso

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Gerald Lambeau
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Gerald Lambeau » 06 gen 2018, 14:51

Davvero?
Testo nascosto:
$a_1=2, b_1=1$.
$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n(a_n^3+2b_n^3)}{a_n^3-b_n^3}, b_{n+1}=\frac{b_n(b_n^3+2a_n^3)}{b_n^3-a_n^3}$.
Si dimostra easy che $a_{n+1}^3+b_{n+1}^3=a_n^3+b_n^3$.
Si dovrebbe anche dimostrare (con le giuste ipotesi che si conservano) che, scritte come frazioni ridotte ai minimi termini, ogni coppia ha lo stesso denominatore che è dispari, il numeratore dei $b$ pure è sempre dispari mentre quello degli $a$ dovrebbe, se non ho sbagliato nulla, guadagnare almeno un fattore $2$ in più ogni volta.
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Drago96 » 06 gen 2018, 17:27

Federico II ha scritto:
03 gen 2018, 13:01
Se la cosa può confortarti, ad un orale in SNS hanno chiesto di esprimere in funzione di un parametro tutti i punti a coordinate razionali in una generica curva polinomiale.
Troleito br00tal ha scritto:
06 gen 2018, 13:06
Beh, sarà stata una curva di grado 2, visto che altrimenti è falso
Si riferisce a questo fatto, non al problema.

Comunque per trovare la tua parametrizzazione c'è dietro un'idea molto simile a quella che serve per le coniche, che fondamentalmente è "fai intersecare rette con la giusta molteplicità"
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Gerald Lambeau » 06 gen 2018, 17:42

Ah, ok.
Delle rette lo sapevo, anzi è proprio per insegnarci quel metodo che ci è stato assegnato questo problema, e infatti è così che ho trovato la parametrizzazione.
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Talete » 06 gen 2018, 20:36

Gerald Lambeau ha scritto:
06 gen 2018, 17:42
Ah, ok.
Delle rette lo sapevo, anzi è proprio per insegnarci quel metodo che ci è stato assegnato questo problema, e infatti è così che ho trovato la parametrizzazione.
Problemi di tdn che "hey ma questo è geometria!"
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Federico II » 06 gen 2018, 21:36

Allego il file dove ho trovato la domanda a pagina 1-2, dovrebbe essere quello del 2014.
Ma dicevo, quesiti di questo genere sono stati dati ad un Senior Advanced, quindi in un contesto dove hai 3 ore per risolverli e il pubblico sono pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti, quindi perché sono stati chiesti anche ad un esame orale (quindi dove non hai così tanto tempo per pensare) che dovrebbe far passare un bel po' di persone in più?
Allegati
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Salvador
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Salvador » 06 gen 2018, 22:04

Federico II ha scritto:
06 gen 2018, 21:36
Allego il file dove ho trovato la domanda a pagina 1-2, dovrebbe essere quello del 2014.
Ma dicevo, quesiti di questo genere sono stati dati ad un Senior Advanced, quindi in un contesto dove hai 3 ore per risolverli e il pubblico sono pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti, quindi perché sono stati chiesti anche ad un esame orale (quindi dove non hai così tanto tempo per pensare) che dovrebbe far passare un bel po' di persone in più?
Più domande accorpate (?)
Effettivamente in rapporto alle domande riportate degli ultimi anni sembrano significativamente più difficili
Sembra che le cose siano trascritte più per tematiche che per singole domande

Talete
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Re: Finalmente l'ho risolto!

Messaggio da Talete » 08 gen 2018, 14:28

Federico II ha scritto:
06 gen 2018, 21:36
pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti
8)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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