Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Talete » 12 nov 2017, 14:25

Sia $p$ un primo dispari. Trovare il più piccolo intero positivo $n$ tale che esistono due polinomi $f(x)$ e $g(x)$ per cui
\[n=(x-1)\cdot f(x)+(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1)\cdot g(x).\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Salvador
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Re: Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Salvador » 13 nov 2017, 14:39

Testo nascosto:
$n=1$. Con $f(x)=\sum_{i=0}^{p-2}{\frac{i+1-p}{p} x^i}$ e $g(x)=\frac{1}{p}$, ho $n=1$. [\hide]

Nadal21
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Re: Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Nadal21 » 13 nov 2017, 16:13

Salvador ha scritto:
13 nov 2017, 14:39
Testo nascosto:
$n=1$. Con $f(x)=\sum_{i=0}^{p-2}{\frac{i+1-p}{p} x^i}$ e $g(x)=\frac{1}{p}$, ho $n=1$. [\hide]
Ok. ma che procedimento hai usato per risolverlo ?

Salvador
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Re: Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Salvador » 13 nov 2017, 16:30

Nadal21 ha scritto:
13 nov 2017, 16:13
Salvador ha scritto:
13 nov 2017, 14:39
Testo nascosto:
$n=1$. Con $f(x)=\sum_{i=0}^{p-2}{\frac{i+1-p}{p} x^i}$ e $g(x)=\frac{1}{p}$, ho $n=1$. [\hide]
Ok. ma che procedimento hai usato per risolverlo ?
Nessuno. Ho messo $g(x)$ costante e l'ho trovato :lol:

Talete
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Re: Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Talete » 13 nov 2017, 18:10

A coefficienti interi i polinomi
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Salvador
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Re: Io continuo a mettere problemi perché sono tutti belli

Messaggio da Salvador » ieri, 22:35

Talete ha scritto:
13 nov 2017, 18:10
A coefficienti interi i polinomi
Allora poni $x=1$ e hai $n=p g(1)$, ovvero $n \geq p$. Ora con $g(x)=1$ e $f(x)$ come nella soluzione di prima va sempre bene, quindi $n=p$.

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