Difficile da formalizzare

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Emarossi
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Difficile da formalizzare

Messaggio da Emarossi » 12 ott 2017, 16:51

Ho un parallelepipedo $2\cdot2\cdot n$ (con $n$ intero positivo maggiore o uguale ad 1), in quanti modi (in funzione di $n$) posso riempirlo con mattoncini $2\cdot1\cdot1$?
Ultima modifica di Emarossi il 13 ott 2017, 12:59, modificato 1 volta in totale.

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RiccardoKelso
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Re: Difficile da formalizzare

Messaggio da RiccardoKelso » 12 ott 2017, 20:57

Ricoprirlo o riempirlo? Ho letto frettolosamente e ho fatto il riempirlo, me misero me tapino.
Hai paura di bagnarti?

Non si può entrare nell'angolo rotture della lidl

$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

Emarossi
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Re: Difficile da formalizzare

Messaggio da Emarossi » 13 ott 2017, 13:00

Sì hai ragione è scritto male...ho corretto.

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RiccardoKelso
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Re: Difficile da formalizzare

Messaggio da RiccardoKelso » 14 ott 2017, 17:47

In questa presunta soluzione ho considerato il parallelepipedo orientato, nel caso in cui la richiesta fosse a meno di rotazioni dovrò ripensarci.
Chiamiamo $N_n$ il numero di modi distinti di riempire il parallelepipedo (a cui ci riferiremo affettuosamente con "par") alto $n$ e sia ora $n \geq 3$. Ogni volta che il par viene riempito esattamente fino al piano $n-1$ (cioè è possibile avere i primi $n-1$ piani riempiti ed il piano passante tra il piano $n-1$ e quello $n$ non interseca nessun parino=parallelepipedino) ho due modi distinti per finire l'ultimo piano, cioè mettere due parini orizzontali orientati in un senso o in quello perpendicolare. Ogni volta che arrivo esattamente fino al piano $n-2$ ho 5 modi distinti per riempirlo senza che sia pieno esattamente fino al piano $n-1$: il mettere due parini verticarli adiacenti e completare con due orizzontali (per 4 rotazioni di $\frac{\pi}{2}$) o metterne quattro verticali. Poi per ogni $i$ da $0$ a $n-3$ supponiamo che il par sia esattamente pieno fino al piano $i$; in quest'ultimo caso ci sono esattamente 4 modi (equivalenti a meno di rotazioni) di riempire tutto il par senza che per qualche piano intermedio $k$ con $i<k<n$ il par possa essere considerato esattamente pieno fino al piano $k$: se ne mette uno orizzontale al piano $i+1$ creando un gradino, si mettono due parini verticali a fianco del gradino formandone uno nuovo e si ripete quest'ultima azione fino a che si tocca il "tetto" del par, e infine si completa con uno orizzontale. A mano verifichiamo le quantità $N_0=1,\space N_1=2,\space N_2=9$ e considerando le osservazioni precedenti otteniamo per $n \geq 3$ la relazione $N_n=2N_{n-1}+N_{n-2}+4\sum_{i=0}^{n-2}{N_i}$. Considerando poi anche $N_{n+1}=2N_{n}+N_{n-1}+4\sum_{i=0}^{n-1}{N_i}$ e sottraendo membro a membro otteniamo $N_{n+1}=3N_n+3N_{n-1}-N_{n-2}$, che risolviamo in quanto ricorsione lineare di terzo grado associata al polinomio $(x+1)(x^2-4x+1)$, ottenendo come risultato finale $N_n=\frac{(-1)^n}{3}+\frac{(2+\sqrt{3})^{n+1}}{6}+\frac{(2-\sqrt{3})^{n+1}}{6}$.
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Re: Difficile da formalizzare

Messaggio da Emarossi » 14 ott 2017, 21:16

Ok giusto, torna anche a me così.

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