SNS 2017/4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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FedeX333X
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Messaggio da FedeX333X » 10 set 2017, 09:24

Se $a$ è un numero reale, denotiamo con $\{a\}$ la parte frazionaria di $a$, ossia l'unico numero reale con $0\leq {a} < 1$ tale che $a=k+ \{a\}$ per qualche intero $k$.

1) Se $N$ è un intero positivo, fare vedere che esistono dei numeri $x,y,z$ tutti maggiori di $N$ tali che $$\{\sqrt{x}\}+\{\sqrt{y}\}=1+\{\sqrt{z}\}$$
2) Dimostrare che per ogni terna di questo tipo si ha $z>4N$.
Ultima modifica di FedeX333X il 11 set 2017, 09:15, modificato 1 volta in totale.

Talete
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Re: SNS 2017/4

Messaggio da Talete » 10 set 2017, 16:33

FedeX333X ha scritto:
10 set 2017, 09:24
Se $a$ è un numero reale, denotiamo con $\{a\}$ la parte frazionaria di $a$, ossia l'unico numero reale con $0\leq \{a\} < 1$ tale che $a=k+ \{a\}$ per qualche intero $k$.

1) Se $N$ è un intero positivo, fare vedere che esistono dei numeri $x,y,z$ tutti maggiori di $N$ tali che $$\{\sqrt{x}\}+\{\sqrt{y}\}=1+\{\sqrt{z}\}$$
2) Dimostrare che per ogni terna di questo tipo si ha $z>4N$.
Fixed.
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Vinci
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Re: SNS 2017/4

Messaggio da Vinci » 11 set 2017, 08:12

Per il primo punto consideriamo una terna $(x,y,z)=\left(\dfrac{z}{4},\dfrac{z}{4},z\right)$ con $z$ multiplo di $4$ e tale che $\lfloor \sqrt z \rfloor$ è un numero dispari (quindi $(2h+1)^2<k<(2h+2)^2$). Infatti in questo caso avremo, detta $\alpha:=\{\sqrt z\}$, avremo che $\sqrt z =2h+1+\alpha$ e quindi $\sqrt{\dfrac{z}{4}}=\dfrac{\sqrt z}{2}=h+\dfrac{\alpha+1}{2}$, e dato che $0<\alpha<1$, $0<\alpha+1<2$ e quindi $0<\dfrac{\alpha+1}{2}<1$. Si ha perciò $\{ \sqrt{\dfrac{z}{4}}\}=\dfrac{\alpha+1}{2}$, e perciò sostituendo si vede che la terna soddisfa l'equazione iniziale.
Va bene?

P.S. Come faccio ad adattare le parentesi graffe e i simboli \lfloor e \rfloor all'altezza della frazione?

FedeX333X
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Re: SNS 2017/4

Messaggio da FedeX333X » 11 set 2017, 09:17

Talete ha scritto:
10 set 2017, 16:33
Fixed.
Grazie, avevo dimenticato la radice quadrata.

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jordan
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Re: SNS 2017/4

Messaggio da jordan » 11 set 2017, 10:42

Vinci ha scritto:
11 set 2017, 08:12
Come faccio ad adattare le parentesi graffe e i simboli \lfloor e \rfloor all'altezza della frazione?
Con \left e \right: esempio
$$
\left\lfloor \sqrt{\frac{z}{4}}\right\rfloor .
$$
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