Caronte non guidava solo le barche?
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- Iscritto il: 20 giu 2015, 20:58
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Sei proprio fortunato perché questo l'ho risolto in gara.
Comunque per iniziare ti do un piccolo hint che è più un aiuto a capire il testo.
I bracci sono quattro e l'anima sta su uno dei due vicini al fulcro. Prova a fare i casi piccoli ricordandomi cosa dice la fisica sul fatto che i piatti centrali stanno a metà rispetto a quelli esterni. Dopo circa una ventina di casi dovresti capire come funziona
Comunque per iniziare ti do un piccolo hint che è più un aiuto a capire il testo.
I bracci sono quattro e l'anima sta su uno dei due vicini al fulcro. Prova a fare i casi piccoli ricordandomi cosa dice la fisica sul fatto che i piatti centrali stanno a metà rispetto a quelli esterni. Dopo circa una ventina di casi dovresti capire come funziona
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Intanto, già qui c'è un primo errore: puoi mettere uno o più pesetti anche sul piatto con l'anima
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Sono 4 piatti, devi mettere anche $-w$
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Ti dà una buona idea di cosa sta succedendo se ti fai prima (o ti "porti da casa", come dice il buon Max) la versione senza i buchi a metà dei bracci, quindi ti consiglio di partire da quella.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
E se ti dicessi che per la bilancia a 2 bracci la soluzione ottimale per i pesetti sono le potenze di 3?
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Quanti pesi diversi (positivi e/o negativi) puoi fare con due pesetti?
--federico
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
Il numero di modi di disporre i due pesetti sui quattro piatti, quindi $16$, ma alcuni di questi casi non permettono di bilanciare, e andrebbe considerato il fatto che deve esserci almeno un peso sul lato della bilancia che non contiene l'anima, ed andrebbe anche considerato se i due pesetti pesano uno la metà dell'altro, e se quello che pesa di più pesa più del doppio dell'altro o no, sono un bel po' di casi.
Re: Caronte non guidava solo le barche?
No no facciamo ancora l'altro problema con due piatti soli... WLOG l'anima sta a sinistra. Ogni pesetto può stare a sinistra, a destra, oppure non stare proprio. Quanti pesi di anime diversi (positivi e/o negativi) puoi bilanciare?
--federico
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
Nessuno, e infatti non lo è.
--federico
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
Uff, diciamo che metto una soluzione completa del caso a due piatti, visto che nessuno sembra afferrare gli hint.
Abbiamo una bilancia a due bracci uguali, $k$ pesetti di peso $p_1,p_2,\dots,p_k$, e un oggetto ("anima") da pesare.
Ogni possibile "pesata" si ottiene mettendo l'anima (WLOG) a sinistra, e per ognuno di questi pesetti scegliamo se metterlo a sinistra, a destra, oppure proprio da nessuna parte. Diciamo che $t_i=-1$ se il peso $i$ è a sinistra, $t_i=0$ se manca, e $t_i=1$ se è a destra. Allora la bilancia è in pari quando il peso dell'anima è $a = t_1 p_1 + t_2 p_2 + \dots + t_k p_k$.
Quindi esistono $3^k$ modi diversi di scegliere i $t_i$, e perciò al più $3^k$ pesi di anime diverse che si possono bilanciare. Nota però che uno di questi casi è $a=0$ (quando $t_i=0$ per ogni $i$), e che gli $a$ possono essere anche negativi: in particolare se c'è una scelta che pesa $a$ allora ce n'è anche una che pesa $-a$ (scambia tutti i segni). Quindi con $k$ pesetti possiamo bilanciare al più $\frac{3^k-1}{2}$ pesi positivi diversi.
Ora, sarebbe bello se ci fosse un modo di scegliere i $p_i$ in modo che questi fossero proprio gli interi $1,2,3,\dots,\frac{3^k-1}{2}$ --- di meglio chiaramente non possiamo fare, quindi questa sarebbe la soluzione migliore. Questo si ottiene se $p_i=3^{i-1}$. Di fatti "si vede" che si riesce a bilanciare qualunque peso $-\frac{3^k-1}{2} \leq a \leq \frac{3^k-1}{2}$ in questo modo: prima si sceglie $t_1$ in modo da rendere $a-t_1p_1$ multiplo di 3; poi si sceglie $p_2$ in modo da rendere $a-t_1p_1-t_2p_2$ multiplo di 9, e così via. Detto in altro modo più elegante: prendiamo il numero $N = a+1+3+3^2+\dots+3^{k-1}$ e scriviamolo in base $3$ come $N = s_1 + 3s_2 + 3^2s_3 + \dots + 3^{k-1} s_k$ (notare che si riesce sempre a scriverlo con $k$ cifre ternarie, perché $N$ sta sempre tra $0$ e $3^k-1$, come si vede usando la formula per la somma delle progressioni geometriche). Allora da questa scrittura otteniamo $a = (s_1-1) + (s_2-1)3 + (s_3-1)3^2 + \dots + (s_k-1)3^{k-1}$, che è un modo di ottenere $a$ come somma dei pesetti a coefficienti $t_i = s_i-1 \in \{-1,0,1\}$. (Qualche volta questa scrittura si sente chiamata "sistema ternario bilanciato".)
Abbiamo una bilancia a due bracci uguali, $k$ pesetti di peso $p_1,p_2,\dots,p_k$, e un oggetto ("anima") da pesare.
Ogni possibile "pesata" si ottiene mettendo l'anima (WLOG) a sinistra, e per ognuno di questi pesetti scegliamo se metterlo a sinistra, a destra, oppure proprio da nessuna parte. Diciamo che $t_i=-1$ se il peso $i$ è a sinistra, $t_i=0$ se manca, e $t_i=1$ se è a destra. Allora la bilancia è in pari quando il peso dell'anima è $a = t_1 p_1 + t_2 p_2 + \dots + t_k p_k$.
Quindi esistono $3^k$ modi diversi di scegliere i $t_i$, e perciò al più $3^k$ pesi di anime diverse che si possono bilanciare. Nota però che uno di questi casi è $a=0$ (quando $t_i=0$ per ogni $i$), e che gli $a$ possono essere anche negativi: in particolare se c'è una scelta che pesa $a$ allora ce n'è anche una che pesa $-a$ (scambia tutti i segni). Quindi con $k$ pesetti possiamo bilanciare al più $\frac{3^k-1}{2}$ pesi positivi diversi.
Ora, sarebbe bello se ci fosse un modo di scegliere i $p_i$ in modo che questi fossero proprio gli interi $1,2,3,\dots,\frac{3^k-1}{2}$ --- di meglio chiaramente non possiamo fare, quindi questa sarebbe la soluzione migliore. Questo si ottiene se $p_i=3^{i-1}$. Di fatti "si vede" che si riesce a bilanciare qualunque peso $-\frac{3^k-1}{2} \leq a \leq \frac{3^k-1}{2}$ in questo modo: prima si sceglie $t_1$ in modo da rendere $a-t_1p_1$ multiplo di 3; poi si sceglie $p_2$ in modo da rendere $a-t_1p_1-t_2p_2$ multiplo di 9, e così via. Detto in altro modo più elegante: prendiamo il numero $N = a+1+3+3^2+\dots+3^{k-1}$ e scriviamolo in base $3$ come $N = s_1 + 3s_2 + 3^2s_3 + \dots + 3^{k-1} s_k$ (notare che si riesce sempre a scriverlo con $k$ cifre ternarie, perché $N$ sta sempre tra $0$ e $3^k-1$, come si vede usando la formula per la somma delle progressioni geometriche). Allora da questa scrittura otteniamo $a = (s_1-1) + (s_2-1)3 + (s_3-1)3^2 + \dots + (s_k-1)3^{k-1}$, che è un modo di ottenere $a$ come somma dei pesetti a coefficienti $t_i = s_i-1 \in \{-1,0,1\}$. (Qualche volta questa scrittura si sente chiamata "sistema ternario bilanciato".)
--federico
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
Qualcuno ha voglia di fare la versione a quattro piatti ora?
--federico
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Re: Caronte non guidava solo le barche?
Non basta sostituire al tuo messaggio i vari $3$ con dei $5$ e porre $t_i \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$?
Re: Caronte non guidava solo le barche?
Eh, in effetti più o meno sì. Resta da giustificare perché quella è l'equazione che fa stare la bilancia in equilibrio, e fare il conto del range dei numeri scrivibili con k cifre di "quinario bilanciato". Ma sono tutte verifiche facili.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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