un luogo di Pisa 2002

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare il luogo dei punti che vedono un\'ellissi sotto un angolo retto.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

si può avere una definizione più rigorosa di \"vedono un\'ellissi sotto un angolo retto.\", che vuol dire?

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Immagino: mandiamo da P le tangenti PT e PT\' all\'ellisse. Allora < TPT\' è retto

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Si e\' questo il senso.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Ok visto che non risponde nessun\'altro a questo problema lo farò io. Allora poniamo il centro degli assi cartesiani al centro dell\'ellisse che è descritta così dalla classica equazione
 
 x²/a² + y²/b² = 1
 
 dunque lo scopo del problema è quello di determinare il luogo geometrico dei punti che vedono un’ellisse sotto un angolo retto, allorché ho pensato che basta trovare una relazione univoca tra ogni punto dell’ellisse (che forma un punto di tangenza con una data retta) e il punto dove le due tangenti che devono formare l’angolo retto s’incontrano. Chiamiamo
 
 P(x0; y0)
 
 il punto dell’ellisse, la tangente all’ellisse per questo punto ha equazione
 
 y = - b²x0/a²y0 * x +b²/y0
 
 la retta perpendicolare a questa ha il coefficiente angolare inverso cambiato di segno, quindi
 
 m = a²y0/b²x0
 
 e per determinare l’equazione di questa retta conoscendone il coefficiente angolare basta imporre la condizione di tangenza
 
 a²m²+b²-q²=0
 
 svolgendo un po’ di calcoli determiniamo q e quindi la seconda retta tangente all’ellisse che forma con la prima un angolo retto:
 
 y=a²y0/b²x0 * x + sqr(a^6y0²+b^6x0²)/b²x0
 
 il punto dove queste due rette s’incontrano ha le seguenti coordinate:
 
 x = q-q1/m1-m
 y = m1q-mq1/m1-m
 
 dunque sostituendo entro queste coordinate i coefficienti angolari e i termini noti delle due rette troviamo che:
 
 x = (a²b^4x0 – a²y0sqr(a^6y0²+b^6x0²) )/a^4y0² + b^4x0²
 y = (a^4b²y0 – b²x0sqr(a^6y0²+b^6x0²) )/a^4y0² + b^4x0²
 
 in conclusione quindi il luogo geometrico dei punti è formato dai quei punti che dato un punto dell\'ellisse P(x0;y0) hanno le coordinate sopra trovate. Personalmente ritengo interessante e probabile che ci sia un equazione più facile per descrivere questo luogo geometrico, ma io sono un “peoro” che pur avendo le coordinate generali di un punto di questa nuova curva non riesco a risalirne all’equazione, qualcuno la sa scrivere?
 P.S. a me è venuto in mente di esplicitare x0 e y0 dalla equazione della coordinata x e sostituirli nella seconda equazione della coordinata y ma è da sparo e non ho voglia di farlo inoltre non sono neanche sicuro che sia giusto questo metodo, questo procedimento è corretto? c’è né uno più semplice? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-09-2003 13:50 ]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

visto che sprmnt21 è on line ne approfitto per chiederli se questa soluzione è giusta, se c\'è né un altra e se qualcuno può rispondere alle domande del precedente post.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

ok sprmnt21 non è + on line, cmq qualcun altro è in grado di rispondere?
 
 thanks to evryone who reply to me [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-09-2003 14:54 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa psion se non ho risposto prima, ma il fatto di vedermi on-line non e\' molto significativo in quanto io sono collegato dalla rete aziendale e il PC e\' sempre connesso e molte volte qualche finestra del sito resta aperta per giorni sotto tutte le altre di lavoro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">) senza che io la guardi.
 
 riguardo alle domande, posso dire che ce n\'e\' sicuramente un\'altra di soluzione geoemtrica anzi semplicemente piatgorica.
 Non so se sono in grado, per tempo e capacita\', di controllare la correttezza della tua ma ci provero\'.
 
 ciao
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 11-09-2003 11:18 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

in linea di principio il procedimento mi sembra corretto (non sono in grado di controllare i conti).
 
 Provo a riassumere come vedo io la cosa:
 
 1) dato un generico punto P(X,Y) del luogo si ricavano le tangenti da questo alla conica (dovrebbero esserci delle formule che danno queste equazioni);
 
 2) le equazioni di queste tangenti ( e in particolare i coefficienti angolari) dipendono dal punto P cioe\' da X ed Y e dai parametri dell\'ellisi cioe\' a e b;
 m1=f1(X,Y,a,b) ed m2=f2(X,Y,a,b)
 
 3) si impone che m2*m1=-1 e si ottiene una f(X,Y,a,b)=0 che e\' la soluzione del problema;
 
 4) si cerca di capire cosa la f(X,Y,a,b)=0 rappresenti geometricamente.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

No ho ragionato al contrario di quello da te scritto, cioè io parto dall\'ellissi e non dal luogo:
 
 1) Siccome ogni punto dell\'ellisse è noto, Parto da un punto dell\'ellisse P(x0;y0)
 
 2) ricavo la tangente a questo punto
 
 3) ricavo il coefficente angolare della perpendicolare alla tangente e impongo la tangenza all\'ellisse per determinare completamente l\'equazione di questa seconda retta che forma con quella del punto 2) un angolo di 90°
 
 4) determino le coordinate del punto dove queste 2 rette s\'incontrano, e trovo così le coordinate generali del luogo geometrico
 
 5) provo a ricavare l\'equazione di questa nuova curva che sebbene ormai sia in grado di calcolare è troppo complicato e da sparo e non ne ho voglia.
 
 formalmente mi sembra corretto, complicato ma corretto, xchè anche se non esplicito l\'equazione della curva del luogo geometrico, ho trovato una relazione univoca che associa ad ogni punto dell\'ellisse uno del luogo... qual\'è la soluzione elementare? qualcuno sa completare la mia? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 11-09-2003 18:25 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

si avevo visto che era un\'impostastazione leggermente diversa. perche\' non provi a seguire quest\'altra che forse facilita i conti?

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Ne propongo un\'altro che mi è venuto in mente risolvendo un compito. Consideriamo un ramo di iperbole detto 0 l\' incontro degli asintoti (si chiama centro dell\'iperbole? Boh). Si trovi la sua tangente in un punto Po e siano A e B le intersezioni della tangente con i due asintoti. Dimostrare che l\'area del triangolo AOB è costante. Finora ho trovato una soluzione con l\'uso dell\'analitica. A voi trovare una sol euclidea...
 Dò un\'input che magari può servire (ma se temete di confondervi non leggetelo): in pratica bisogna dimostrare che AO*OB=costante, con un pò di similitudini ci si dovrebbe arrivare...o no?[P.S.: non ho ancora sviluppato questa idea]
 Ciao

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque...un\'ellisse ha eq: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1...i coeff angolari delle rette tangenti all\'ellisse passanti per un punto esterno P(x,y) sono
 m_1=(-xy + Sqrt(a^2y^2+b^2x^-a^2b^2))/(a^2-x^2)
 m_2=(-xy - Sqrt(a^2y^2+b^2x^-a^2b^2))/(a^2-x^2)
 
 Noi vogliamo quei punti P per cui m_1=-1/m_2
 
 dunque
 
 (-xy + Sqrt(a^2y^2+b^2x^-a^2b^2))*(xy + Sqrt(a^2y^2+b^2x^-a^2b^2)) = (a^2-x^2)^2
 
 ovvero a^2y^2+b^2x^2-a^2b^2-x^2y^2=(a^2-x^2)^2
 da cui y^2-b^2=a^2-x^2 => y^2+x^2=a^2+b^2
 
 Circonferenza con centro nell\'incrocio degli assi e raggio pari alla semi diagonale del rettangolo con lati pari ai due assi.
 
 EvaristeG (non so se sono riuscito a fare il Login)

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

io come sempre ho ragionato al contrario partendo da un punto dell\'ellisse, amziche dal punto esterno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Data un\'ellissi e di fuochi F1 ed F2 e tale che se P appartiene ad e allora PF1+PF2=s, vediamo prima come tracciare la tangente in un suo generico punto P.
 Si prenda F\'2 su F1P tale che PF2=PF\'2 l\'asse p di F2F\'2 e\' la tangente ad e in P.
 Tracciamo ora una tangente q ad e ortogonale a p. Sia V l\'intersezione (diversa da F2) della retta F2\'F2 con il cerchio c di diametro F1F2. Tracciamo la retta VF1 e sia F\'1 il punto di VF1 dalla parte di F1 che dista s da F2. Sia Q il punto in cui F2F\'1 taglia e. L\'asse di F1F\'1 e\' la tangente ad e in Q ed e\' ovviamente ortogonale a p. Sia X il punto comune a p e q. Quello che viene richiesto e\', di fatto, il luogo descritto da X al variare di V sul cerchio c.
 
 Sia O il punto medio di F1F2, si ha che OX^2 = (VF2\'/2)^2 + (VF\'1/2)^2.
 
 Ma VF\'2 = F1F\'2^2 - F1V^2, VF\'1 = F2F\'1^2 - F2V^2 e VF2^2+VF1^2 = F1F2^2 = cost. Pertanto la distanza di X da O e\' costante e il luogo cercato e\' una circonferenza.