Nel corso della dimostrazione per ogni insieme di punti $\alpha$ indicheremo con $\alpha '$ il suo simmetrico rispetto al centro della terra.
Chiamiamo circuito perfetto un qualsiasi percorso chiuso sulla superficie della sfera terrestre tale che sia simmetrico rispetto al suo centro. Per ogni punto $X$ la sua temperatura sarà $t\left(X\right)$ e la sua pressione $p\left(X\right)$.
Lemma 1: dato un qualsiasi circuito pefetto $C$ possiamo individuare due punti diametralmente opposti appartenenti ad esso con la stessa temperatura.
Dimostrazione: per ogni punto $A\in C$ definiamo $f\left(A\right)=t\left(A\right)-t\left(A'\right)$. Notiamo che $f$ è continua e che $f\left(A\right)=-f\left(A'\right)$, quindi la sua immagine dovrà contenere lo $0$.
Adesso coloriamo in rosso tutti i punti $A$ della superficie della sfera tali che $f\left(A\right)=0$ (in particolare la colorazione sarà simmetrica wrt il centro). Gli altri punti della superficie saranno blu (chiameremo $R$ l'insieme dei punti rossi e $B$ l'insieme di quelli blu).
Lemma 2: esiste un circuito perfetto rosso. Immagino ci sia una soluzione di questo fatto moolto più decente di quella che segue (anche se con un disegno sarebbe mille volte più facile da spiegare), ma in ogni caso non mi è sembrato banale..
Dimostrazione: Supponiamo l'assurdo. Se facciamo vedere che allora esiste un circuito perfetto blu abbiamo finito perché contraddiremmo il lemma 1.
Definiamo circuito scarso ogni percorso chiuso non necessariamente simmetrico rispetto al centro (in particolare un percorso di un singolo punto è da considerare circuito scarso).
Lemma 2.1: se esiste un circuito scarso rosso (o blu) passante per $A$ e $A'$ esiste anche un circuito perfetto rosso (o blu) passante per questi due punti. Questo è chiaro se si ricorda che $R\equiv R'$ (e $B\equiv B'$).
Lemma 2.2: per ogni circuito scarso $S$ rosso (o blu) si ha che $S\cap S'=\emptyset$. Questo accade perché altrimenti detti $X$ e $X'$ due punti di intersezione diametralmente opposti avremmo che $S$ è un circuito scarso rosso (o blu) passante per $X$ e $X'$, quindi per il lemma 2.1 esiste anche un circuito perfetto rosso (o blu) passante per questi due punti, il che contraddirebbe l'assurdo.
Per ogni circuito perfetto rosso $S$ definiamo $h\left(S\right)$ come l'insieme dei punti in $S$ unito all'insieme dei punti $A$ tali che per ogni circuito scarso $T$ passante per $A$ non intersecante $S$ e $S'$ si ha che per ogni coppia di punti uno in $S$ e uno in $S'$ esiste un cammino che li collega non intersecante $T$ (quindi $h\left(S\right)=h\left(S'\right)$).
N.B. Lo schifo di definizione che ho dato di $h$ mi serviva per comprendere anche in casi in cui $S$ è intrecciato.
Sia ora $\mathfrak{S}$ l'insieme dei circuiti scarsi rossi $S$ tali che non esiste un circuito scarso rosso $P$ tale che $h\left(S\right)\subset h\left(P\right)$. Chiamiamo belli tutti i punti $A$ tali che $$\exists\ \ S\in\mathfrak{S}: A\in h\left(S\right)$$(in particolare tutti i punti rossi saranno anche belli)
Indichiamo con $E$ l'insieme dei punti belli e con $U$ l'insieme di quelli brutti.
Ora notiamo che se due punti sulla sfera non hanno un circuito scarso blu che passi per entrambi allora vuol dire che esiste un circuito scarso rosso che li separa e quindi uno dei due punti è anche bello. Questo ci porta a dire che la regione dei punti brutti non è disgiunta, ed è anche completamente blu. Inoltre poiché la configurazione è sempre simmetrica rispetto al centro della sfera, vuol dire che $U\equiv U',$ quindi se $U\not\equiv\emptyset$ allora esistono due punti $A, A'\in U$ per i quali passa un circuito scarso blu (per ragioni che abbiamo appena detto), quindi per il lemma 2.1 esiste un circuito perfetto blu passante per $A, A'$, assurdo.
Allora tutti i punti sono belli.
Lemma 2.3 Se $M$ è una regione blu non disgiunta allora $\exists\ \ S\in\mathfrak{S}:\ M\subset h\left(S\right)$. Questo mi sembra abbastanza chiaro sfruttando il fatto che tutti i punti di $M$ sono belli, e che ogni circuito scarso rosso non può intersecare $M$, essendo i punti di $M$ tutti blu.
Lemma 2.4 la regione $\bigcup_{S\in\mathfrak{S}}S$ non è disgiunta.
Dimostrazione: se così non fosse allora potremmo tracciare un circuito scarso blu $L$ (per il lemma 2.2 $L\cap L'=\emptyset$) tale che esistono due circuiti scarsi rossi $J, K\in\mathfrak{S}$ (con $J\neq K'$) tali che per ogni coppia di punti uno appartenente al primo e uno al secondo si ha che non esiste un cammino che li congiunga senza intersecare $L$. Poiché $L$ non è disgiunto, per il lemma 2.3 deve esistere un circuito scarso rosso $D$ tale che $L\subset h\left(D\right)$. Ma allora per forza di cose, per come abbiamo definito $L$ si avrà anche che $K\subset h\left(D\right)\ \vee\ J\subset h\left(D\right)$ il che contraddice che $J, K\in\mathfrak{S}$. Assurdo!
Il lemma 2.4 ci permette finalmente di concludere il lemma 2 poiché quindi esisteranno due punti diametralmente opposti in $\bigcup_{S\in\mathfrak{S}}S$ che si possono collegare con un circuito scarso rosso, quindi per il lemma 2.1 esiste un circuito rosso passante per tali punti.
Ora che abbiamo dimostrato il lemma 2 abbiamo finito perché chiaramente il lemma 1 è valido anche se al posto della funzione $f$ mettiamo la funzione $g\left(A\right)=p\left(A\right)-p\left(A'\right)$, quindi in particolare esisteranno due punti diametralmente opposti sul circuito perfetto completamente rosso che abbiamo trovato nel lemma 2 tali che hanno anche la stessa pressione.
ps ho visto ora il video linkato, ma mi sembra che la sua giustificazione del lemma 2 sia una giustificazione intuitiva, non facilmente trasformabile in una dimostrazione (magari mi sbaglio eh).