"DIOfantea" non è una bestemmia
"DIOfantea" non è una bestemmia
Trovare tutte le soluzioni intere di $$x^2+xy+y^2=x^2y^2$$ Ho una soluzione e vorrei sapere se è giusta.
Testo nascosto:
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Intanto, $(0,0)$ è soluzione. Poi, $x \mid y^2$ e non $y$
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
temo tu possa dedurre solo $x\mid y^2$Vinci ha scritto:dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Se $(x,y)=(4,2)$ allora $x\mid y^2$ e $x\nmid y$. Comunque, il membro di destra dell'equazione sembra un po' grande
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Grazie, ho capito dove sbaglio
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Allora, $x=0 \Leftrightarrow y=0$, quindi suppongo $x,y \neq 0$. Inoltre l'equazione è simmetrica.
Non ci sono vincoli di segno, quindi per ora suppongo che siano concordi. $LHS<(x+y)^2<RHS$ se $(x-1)(y-1)>1$ o se $x+y<0$, quindi devo controllare a mano i casi $x=1$ e $y=1$, che non mi danno soluzioni (o meglio, me le danno ma ho supposto $xy>0$).
Suppongo ora che siano discordi; $LHS<x^2+y^2<RHS$ per $(x^2-1)(y^2-1)>1$, quindi per simmetria controllo solo $x^2=1$ che mi da le coppie $(1,-1),\ (-1,1)$.
Soluzioni: $(0,0),\ (1,-1),\ (-1,1) $
È giusta?
Non ci sono vincoli di segno, quindi per ora suppongo che siano concordi. $LHS<(x+y)^2<RHS$ se $(x-1)(y-1)>1$ o se $x+y<0$, quindi devo controllare a mano i casi $x=1$ e $y=1$, che non mi danno soluzioni (o meglio, me le danno ma ho supposto $xy>0$).
Suppongo ora che siano discordi; $LHS<x^2+y^2<RHS$ per $(x^2-1)(y^2-1)>1$, quindi per simmetria controllo solo $x^2=1$ che mi da le coppie $(1,-1),\ (-1,1)$.
Soluzioni: $(0,0),\ (1,-1),\ (-1,1) $
È giusta?
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Per curiosità, da dove viene l'esercizio?
Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Dall'Engel
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia
Sbaglio o $xy\mid x^2+y^2 \Rightarrow x=\pm y$?
OT: Solo sul mio browser l'oliforum è impazzito?
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