"DIOfantea" non è una bestemmia

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Vinci
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"DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da Vinci » 09 apr 2017, 16:43

Trovare tutte le soluzioni intere di $$x^2+xy+y^2=x^2y^2$$ Ho una soluzione e vorrei sapere se è giusta.
Testo nascosto:
La soluzione ufficiale dice di usare la discesa infinita. La mia soluzione è: dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$ e per lo stesso motivo $y\mid x$, e dato che $a\mid b \Rightarrow a\le b$ abbiamo $x\le y$ e $y\le x$, da cui $x=y$. Quindi l'equazione diventa $x^2+x\cdot x+x^2=x^2\cdot x^2$ da cui $3=x^2$ e quindi non ci sono soluzioni negli interi. E' corretta?

matpro98
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da matpro98 » 09 apr 2017, 19:17

Intanto, $(0,0)$ è soluzione. Poi, $x \mid y^2$ e non $y$

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RiccardoKelso
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da RiccardoKelso » 09 apr 2017, 19:17

Vinci ha scritto:dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$
temo tu possa dedurre solo $x\mid y^2$
Hai paura di bagnarti?

Non si può entrare nell'angolo rotture della lidl

$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

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jordan
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da jordan » 09 apr 2017, 19:39

Se $(x,y)=(4,2)$ allora $x\mid y^2$ e $x\nmid y$. Comunque, il membro di destra dell'equazione sembra un po' grande :)
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Vinci
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da Vinci » 09 apr 2017, 20:33

Grazie, ho capito dove sbaglio

matpro98
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da matpro98 » 09 apr 2017, 21:39

Allora, $x=0 \Leftrightarrow y=0$, quindi suppongo $x,y \neq 0$. Inoltre l'equazione è simmetrica.
Non ci sono vincoli di segno, quindi per ora suppongo che siano concordi. $LHS<(x+y)^2<RHS$ se $(x-1)(y-1)>1$ o se $x+y<0$, quindi devo controllare a mano i casi $x=1$ e $y=1$, che non mi danno soluzioni (o meglio, me le danno ma ho supposto $xy>0$).
Suppongo ora che siano discordi; $LHS<x^2+y^2<RHS$ per $(x^2-1)(y^2-1)>1$, quindi per simmetria controllo solo $x^2=1$ che mi da le coppie $(1,-1),\ (-1,1)$.
Soluzioni: $(0,0),\ (1,-1),\ (-1,1) $

È giusta?

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jordan
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da jordan » 10 apr 2017, 13:26

L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..
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nuoveolimpiadi1999
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 10 apr 2017, 21:47

Per curiosità, da dove viene l'esercizio?

Vinci
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da Vinci » 11 apr 2017, 20:15

Dall'Engel

nuoveolimpiadi1999
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 apr 2017, 15:54

Grazie :)

Claudio.
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da Claudio. » 14 apr 2017, 16:30

Sbaglio o $xy\mid x^2+y^2 \Rightarrow x=\pm y$?

OT: Solo sul mio browser l'oliforum è impazzito?

Turba
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Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Messaggio da Turba » 15 apr 2017, 11:29

jordan ha scritto:
10 apr 2017, 13:26
L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..

Analogamente:

[math]

e l'unico quadrato che è prodotto di due interi consecutivi è 0, da cui le soluzioni.

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