Disuguaglianze

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nuoveolimpiadi1999
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Disuguaglianze

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 18 mar 2017, 17:48

a,b,c sono reali positivi tali che abc<=a+b+c. Dimostrare che

a^2+b^2+c^2>=(sqrt3)abc

Talete
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Re: Disuguaglianze

Messaggio da Talete » 19 mar 2017, 13:18

Testo nascosto:
Abbiamo che $abc\le a+b+c$, e vogliamo dimostrare che
\[a^2+b^2+c^2\ge \sqrt{3}\cdot abc.\]
Noi dimostreremo invece la seguente disuguaglianza:
\[a^2+b^2+c^2\ge \sqrt{3}\cdot \sqrt{abc}\cdot \sqrt{a+b+c}\ge \sqrt{3}\cdot abc.\]
La disuguaglianza CHS-RHS è palese per il vincol, dunque concentriamoci sull'altra. Possiamo riscrivere $a^2+b^2+c^2$ nel seguente modo:
\[a^2+b^2+c^2=\sqrt[4]{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)^3}.\]
Notiamo che, per QM-AM, si ha che
\[\sqrt[4]{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt[4]{1/3}\cdot\sqrt{a+b+c}.\]
Inoltre per AM-GM, si ha che
\[\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)^3}\ge \sqrt[4]{27}\cdot \sqrt{abc}.\]
Moltiplicando queste due disuguaglianze otteniamo la tesi.
Credo sia la dimostrazione più brutta che io abbia mai fatto.
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nuoveolimpiadi1999
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Re: Disuguaglianze

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 19 mar 2017, 14:53

Scusa Talete sono poco esperto e non riesco a seguire bene qualche tuo passaggio... :(
Cosa intendi per CHS-RHS?
E a chi applichi QM-AM e AM-GM? E dove viene fuori la radice quarta?

Talete
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Re: Disuguaglianze

Messaggio da Talete » 19 mar 2017, 18:23

L'equazione è \[LHS\ge CHS\ge RHS\]
(è un modo di chiamare le cose, left hand side, center hand side e right hand side).

QM-AM la applico a $(a,b,c)$ mentre AM-GM la applico a $(a^2,b^2,c^2)$.

Le radici quarte le ho create io, perché mi servivano :D
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Re: Disuguaglianze

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 19 mar 2017, 21:31

Ora è tutto chiaro. Grazie :)

Talete
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Re: Disuguaglianze

Messaggio da Talete » 20 mar 2017, 14:57

Prego ;)
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