Angoli in algebra

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gerald Lambeau
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Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau » 04 feb 2017, 15:04

Ero indeciso sulla sezione, ho deciso di metterlo qui per come l'ho fatto io.

Sia $n>1$ un intero. Dimostrare che $\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=\sum_{k=1}^n \cos{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=0$.
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Vinci
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Re: Angoli in algebra

Messaggio da Vinci » 04 feb 2017, 17:01

Per adesso mi è venuta la prima, se ci riesco mando pure la seconda:
Testo nascosto:
Notiamo che $$\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n} \right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {n-k}{n}\right)$$, e quindi tutti i termini della prima sommatoria si annullano tranne (nel caso in cui $n$ è pari) $$\sin \left( 2\pi \cdot \left( \dfrac {n}{2}\cdot \dfrac {1}{n} \right) \right) = \sin \pi$$ che è uguale a zero.

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Gerald Lambeau
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Re: Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau » 04 feb 2017, 17:29

Buona la prima parte. La sezione dovrebbe suggerire come fare la seconda, utilizzando anche il risultato ottenuto nella prima.
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Drago96
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Re: Angoli in algebra

Messaggio da Drago96 » 04 feb 2017, 19:01

La sezione dice chiaramente che basta
Testo nascosto:
considerare il polinomio $x^n-1$
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Gerald Lambeau
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Re: Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau » 04 feb 2017, 19:37

Consiglio di non aprire lo spoiler se volete provare il problema :lol: .
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