serie simpatica

[ReKaio]

a_1=1
<BR>a_n=k^(a_(n-1))
<BR>
<BR>dire per quali valori di k, per n-->inf, a_n converge, e calcolare questo limite (in funzione di k)
<BR>
<BR>ciau<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 14-08-2003 23:03 ]

[Duilio]

Non ho molto tempo, dunque invio in gran fretta la risposta. La domanda mi pare posta sulla successione. Dico che va a 1 se k e´ 1, +Inf se k>1 0 se k<1. Se si tratta della serie, mi ci vuole un po´ piu di tempo

[ReKaio]

no, non è così semplice <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>
<BR>il testo originale dice \"sequence\", io l\'ho tradotto un po\' come veniva, ma il mio inglese è proverbiale<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 15-08-2003 14:19 ]

[ma_go]

diverge per k>1 e questo è certo, converge a 1 per k pari a 1, credo possa non convergere né divergere per qualche altro valore... ma devo pensarci meglio!

[ReKaio]

in italia è abbastanza famoso con k=sqrt(2), per cui converge a 2, era un problema di cortona di qualche anno fa
<BR>
<BR>è crescente, limitata superiormente
<BR>sqrt(2)^l=l --> l=2

[publiosulpicio]

Diverge per k>t dove t è tale che la retta y=x sia tangente a t^x
<BR>(credo)

[publiosulpicio]

Ah si... non so come determinare t!

[publiosulpicio]

Una prima approssimazione che ho trovato è t=1.444 con errore inferiore a 0.01 (forse)

[publiosulpicio]

Secondo me nel complesso la successione fa così:
<BR>diciamo s_k la soluzione dell\'equazione x=k^x
<BR>se 0<k<1 allora la successione converge a ragnatela al punto s_k
<BR>se k=1 la successione è fissa e converge a 1
<BR>se 1<k<=t la successione converge a gradini al punto s_k
<BR>se k>t la successione diverge.
<BR>Forse il teorema di Banach può dare qualche aiuto sulla determinazione di t, ma non credo, si tratta cmq di vedere quando k^x sia contrattiva.. cioè se mod(k^x*lnk)<1 in un certo intervallo I, ma non penso che porti molti più in la dell\'analisi grafica (almeno, non porta me!)
<BR>

[Fede_HistPop]

publiosulpicio, esiste anche \"edit\"......

[publiosulpicio]

Bhè sono tutti trucchi per aumentare il numero di messaggi

[matthewtrager]

io sapevo questo:
<BR> x^(x^(x^(x^(x^...)))) = 2 (e viene x^2=2, x=sqrt(2) )
<BR> x^(x^(x^(x^(x^...)))) = 4 (e con lo stesso metodo viene x^4=4,x=sqrt (2)
<BR>
<BR>ma allora x^(x^(x^(x^(x^...)))) con x=sqrt(2) a cosa e\' uguale?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[ReKaio]

a 2, prova a sostituire nella serie k=sqrt(2), vedi che il limite sqrt(2)^l=l l=2, converge, perché è minore del famoso 1,444, che nessuno ancora ha ricavato per bene ^^, invece il limite non è mai uguale a 4 da qui il paradosso
<BR>
<BR>tu sei un albionese importato? uhm...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 18-08-2003 00:10 ]