Dimostrare che esiste un insieme $X$ di interi positivi con densità superiore asintotica $1$ e densità inferiore asintotica $0$.
In altre parole, costruire un insieme $X$ tale che, per ogni scelta di $\varepsilon \in (0,1)$, esistono infiniti interi positivi $n$ ed $m$ tali che
$$
\frac{|X\cap [1,n]|}{n}<\varepsilon \,\,\,\text{ e }\,\,\,\frac{|X \cap [1,m]|}{m}>1-\varepsilon.
$$
$d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
$d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
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RiccardoKelso
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Essendo $\frac{1}{n}$ piccolo a piacere per $n$ abbastanza grande, dovrebbe andare bene questo
$X=\{x\in \mathbb{N} |max _{a \in \mathbb{A} _x} a \equiv 0 \space (mod\space 2) \wedge \min _{ b \in \mathbb{B} _x} b \equiv 1 \space (mod\space 2) \}$
Dove $\mathbb{A} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\leq x\}$ e $\mathbb{B} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\geq x\}$
L'idea è che, lungo i naturali, si prendono progressivamente fette che rendono trascurabile tutto ciò che viene fatto in precedenza, quindi grazie all'alternanza pari/dispari otteniamo un alternanza quasivuoto/quasipieno
$X=\{x\in \mathbb{N} |max _{a \in \mathbb{A} _x} a \equiv 0 \space (mod\space 2) \wedge \min _{ b \in \mathbb{B} _x} b \equiv 1 \space (mod\space 2) \}$
Dove $\mathbb{A} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\leq x\}$ e $\mathbb{B} _x=\{n \in \mathbb{N}|n!\geq x\}$
L'idea è che, lungo i naturali, si prendono progressivamente fette che rendono trascurabile tutto ciò che viene fatto in precedenza, quindi grazie all'alternanza pari/dispari otteniamo un alternanza quasivuoto/quasipieno
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
[Edit: Avevo letto male, è tutto ok]
Ultima modifica di jordan il 30 lug 2016, 15:05, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Premetto che non ho capito come poi si concluda in modo formale, comunque credo che questa frase
\[
X=[2!,3!]\cup [4!,5!]\cup [6!,7!]\cup\ldots
\]
dovrebbe essere "se $x\in X$ allora il piu' piccolo fattoriale $\ge x$ è il fattoriale di un numero dispari". Di fatto, se non erro, l'insieme $X$ che si trova in questo modo èjordan ha scritto:se $x\in X$ allora il piu' piccolo fattoriale $\ge x$ è dispari
\[
X=[2!,3!]\cup [4!,5!]\cup [6!,7!]\cup\ldots
\]
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Mah, io avevo pensato a costruirlo in modo molto rozzo (e informale, purtroppo) 
Sostanzialmente si tratta di costruire un insieme con buchi arbitrariamente grandi e piccoli sui naturali. Fissiamo un primo $p$ (ma si fa con qualsiasi altro numero) e costruiamo in questo modo:
1) $1$ lo metto nell'insieme, così ho densità $1$ in $[1,1]$.
2) Salto tutti i numeri fino a $p$, così ho densità $\dfrac {1}{p}$ in $[1,p]$.
Ora per ogni $n$ basta alternare le due regole seguenti:
3) Aggiungo tanti numeri fino ad avere densità $\geq 1- \dfrac {1}{p^n}$
4) Salto tanti numeri fino ad avere densità $\leq \dfrac {1}{p^n}$
In questo modo, al crescere di $n$, ottengo che la densità è arbitrariamente vicina ad $1$ con la mossa $3$ ed è arbitrariamente vicina a $0$ con la mossa $4$. Questo metodo funziona oppure è come barare?
Sostanzialmente si tratta di costruire un insieme con buchi arbitrariamente grandi e piccoli sui naturali. Fissiamo un primo $p$ (ma si fa con qualsiasi altro numero) e costruiamo in questo modo:1) $1$ lo metto nell'insieme, così ho densità $1$ in $[1,1]$.
2) Salto tutti i numeri fino a $p$, così ho densità $\dfrac {1}{p}$ in $[1,p]$.
Ora per ogni $n$ basta alternare le due regole seguenti:
3) Aggiungo tanti numeri fino ad avere densità $\geq 1- \dfrac {1}{p^n}$
4) Salto tanti numeri fino ad avere densità $\leq \dfrac {1}{p^n}$
In questo modo, al crescere di $n$, ottengo che la densità è arbitrariamente vicina ad $1$ con la mossa $3$ ed è arbitrariamente vicina a $0$ con la mossa $4$. Questo metodo funziona oppure è come barare?
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
@Mathiae RiccardoKelso: si l'insieme $\bigcup_{n\ge 1}[(2n)!,(2n+1)!]$ funziona. Ora, chi fa vedere a mano che effettivamente esistono gli $n$ ed $m$?
@Rho33: si l'idea è corretta, e non è barare, ammesso di sapere cos'è un limite
@Rho33: si l'idea è corretta, e non è barare, ammesso di sapere cos'è un limite
Ultima modifica di jordan il 30 lug 2016, 15:06, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Certo certo, stavo solo cercando di interpretare ciò che aveva scrittojordan ha scritto:@Mathia: si l'insieme funziona, credo anche RiccardoKelso intendesse questa.
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RiccardoKelso
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Mi fa piacere che l'insieme funzioni, comunque hai ottime ragioni per credere che anche io intendessi quello.. L'ho scrittojordan ha scritto:@Mathia: si l'insieme funziona, credo anche RiccardoKelso intendesse questa: $\bigcup_{n\ge 1}[(2n)!,(2n+1)!]$
Re: $d^\star(X)=1$ e $d_\star(X)=0$
Sì, era quello che intendevo anch'io 