Somma periodica delle cifre
Somma periodica delle cifre
Poco tempo fa un mio amico mi ha fatto notare una cosa curiosa, alla quale lì per lì non ho saputo dare una spiegazione logica. La propongo qui, in modo che se qualche anima pia avesse voglia di spenderci tempo (o di farmi presente che per qualche motivo è una banalità) la verità verrebbe a galla presuppongo piuttosto facilmente.
Ci tengo a precisare che si tratta di un discorso fin'ora "empirico", in quanto ricorrenza verificata su alcuni numeri nelle loro prime potenze.
Si scelga un numero naturale $c$. Si consideri la successione data dal termine generale $c^n$. Sia $S_n$ il numero ottenuto considerando la somma delle cifre di $c^n$ e iterando il procedimento (di somma delle cifre del numero così ottenuto) fino a quando si ottiene che la somma è $<10$. La successione $S_n$ è allora periodica.
Per alcuni casi particolari (es. $c=3$ oppure $c=9$) la spiegazione è semplice in quanto diretta conseguenza dei criteri di divisibilità. Oso immaginare che il discorso sia analogo per gli altri numeri, ma nel poco tempo che ci ho dedicato non sono riuscito a concretizzare nulla. Spero abbiate voglia di provarci, mi piacerebbe molto potergli rispondere!
EDIT BAGGIANATA
Ok, mi vergogno un po' per non esserci arrivato subito, ma si tratta semplicemente delle classi di resto modulo 9, come non detto
Ci tengo a precisare che si tratta di un discorso fin'ora "empirico", in quanto ricorrenza verificata su alcuni numeri nelle loro prime potenze.
Si scelga un numero naturale $c$. Si consideri la successione data dal termine generale $c^n$. Sia $S_n$ il numero ottenuto considerando la somma delle cifre di $c^n$ e iterando il procedimento (di somma delle cifre del numero così ottenuto) fino a quando si ottiene che la somma è $<10$. La successione $S_n$ è allora periodica.
Per alcuni casi particolari (es. $c=3$ oppure $c=9$) la spiegazione è semplice in quanto diretta conseguenza dei criteri di divisibilità. Oso immaginare che il discorso sia analogo per gli altri numeri, ma nel poco tempo che ci ho dedicato non sono riuscito a concretizzare nulla. Spero abbiate voglia di provarci, mi piacerebbe molto potergli rispondere!
EDIT BAGGIANATA
Ok, mi vergogno un po' per non esserci arrivato subito, ma si tratta semplicemente delle classi di resto modulo 9, come non detto
Re: Somma periodica delle cifre
Fatto 1: sia $ n $ in numero, $ n\equiv S_n \pmod{9} $
Dimostrazione:
Fatto 2: sia $ b $ un intero, allora $ b^k $ é periodico modulo 9
Dimostrazione:
Unendo Fatto 1 e Fatto 2 e sapendo che $ S_n <10 $ si ottiene proprio che $ S_{b^k} $ é periodico.
EDIT: Lo lascio lo stesso, magari puó servire.
Dimostrazione:
Testo nascosto:
Dimostrazione:
Testo nascosto:
EDIT: Lo lascio lo stesso, magari puó servire.
Ultima modifica di Saro00 il 10 feb 2016, 18:49, modificato 3 volte in totale.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Somma periodica delle cifre
@RiccardoKelso (parente di Bob?): occhio che in alcuni casi non sono periodiche "vere", ma c'è un antiperiodo (bonus question: per quali numeri?)
@Saro00: $b^7 \equiv 1 \mod 9$ è un typo, immagino.
@Saro00: $b^7 \equiv 1 \mod 9$ è un typo, immagino.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Somma periodica delle cifre
In realtá $ b^6\equiv 1 \pmod{9} $.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Somma periodica delle cifre
Vi ringrazio per le risposte 'sì pronte!
@fph (anni addietro ne ero un patito, quindi parente acquisito) Direi per quei numeri che contengono nella fattorizzazione $3^1$.
@fph (anni addietro ne ero un patito, quindi parente acquisito) Direi per quei numeri che contengono nella fattorizzazione $3^1$.
Re: Somma periodica delle cifre
$b^7 \equiv 1 \mod 9$ era un typo, ma $b^6 \equiv 1 \mod 9$ (per ogni $b$ intero) è un errore.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Somma periodica delle cifre
? Avevo precisato
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Somma periodica delle cifre
Hmm ok hai ragione... c'era anche prima e sono cieco io (possibilissimo...) oppure è un edit?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Somma periodica delle cifre
L'edit c'era stato, ma alle 7:30 di ieri sera...
However, grazie della disponibilità
However, grazie della disponibilità
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Somma periodica delle cifre
Ok, allora sono ufficialmente cecato io. Grazie a te per aver scritto per bene la dimostrazione!
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]