194. Random

[Saro00]

Determinare tutte le soluzioni $ (m,n) \in \mathbb{N^2} $ tali che
$ \displaystyle m^2+2\cdot 3^n=m\cdot (2^{n+1}-1) $

[Fbuonarroti]

Le soluzioni che ho trovato io fino ad ora sono:
n= 0 m= 2
n= 2 m= 9
n=3 m= 18
Se sono tutte posto la mia soluzione

[Saro00]

In realtá no, oltre che la prima tua soluzione é sbagliata, ce ne sono altre

[Fbuonarroti]

Ecco cosa succede a fare matematica la sera, si sbagliano i segni e si sbaglia, le mie sono tutte e 3 sbagliate, in quanto avevo cambiato un segno.
Stupido me!

[cip999]

Allora uccidiamolo di disuguaglianze brutali.
Palesemente $m \mid 2 \cdot 3^n$, dunque $m$ è della forma $3^k$ o $2 \cdot 3^k$ per qualche $k \le n$. Nel primo caso l'equazione si riscrive come $$3^{2k} + 2 \cdot 3^n = 3^k(2^{n + 1} - 1) \quad \Leftrightarrow \quad 3^k + 2 \cdot 3^{n - k} = 2^{n + 1} - 1$$ Nel secondo, invece, la diofantea diventa $$4 \cdot 3^{2k} + 2 \cdot 3^n = 2 \cdot 3^k(2^{n + 1} - 1) \quad \Leftrightarrow \quad 2 \cdot 3^k + 3^{n - k} = 2^{n + 1} - 1$$
Notiamo che le due equazioni sono esattamente la stessa a patto di sostituire $k$ con $n - k$, quindi possiamo supporre WLOG $k \le \frac{n}{2}$ e, poiché guardando modulo $3$ si vede che $n$ deve essere dispari (a meno che $k = 0$ o $n = k$, che si fanno a mano e non danno soluzioni), $k < \frac{n}{2}$.
Pertanto $v_3(3^k + 2 \cdot 3^{n - k}) = v_3(2 \cdot 3^k + 3^{n - k}) = k$. Inoltre, essendo $n + 1$ pari, $v_3(2^{n + 1} - 1) = v_3(2^{n + 1} - (-1)^{n + 1}) = 1 + v_3(n + 1)$ da LTE. Quindi $k = 1 + v_3(n + 1) \le 1 + \log_3(n + 1) \implies 3^k \le 3(n + 1)$. Allora:

• Nel primo caso $\displaystyle 2^{n + 1} - 1 = 3^k + 2 \cdot 3^{n - k} > \frac{2 \cdot 3^n}{3(n + 1)}$, cioè $(n + 1)(2^{n + 1} - 1) > 2 \cdot 3^{n - 1}$. Ma questo è assurdo per $n \ge 9$, infatti $10(2^{10} - 1) = 10230 < 13122 = 2 \cdot 3^8$, e poi come al solito per induzione: $$2 \cdot 3^n \stackrel{\text{hp ind.}}{>} 3(n + 1)(2^{n + 1} - 1) \stackrel{\text{?}}{\ge} (n + 2)(2^{n + 2} - 1)$$ e l'ultima è ovviamente vera. Restano da provare a mano $0 \le n \le 8$, ma lo facciamo dopo.
• Nel secondo caso $\displaystyle 2^{n + 1} - 1 = 2 \cdot 3^k + 3^{n - k} > \frac{3^n}{3(n + 1)}$, cioè $(n + 1)(2^{n + 1} - 1) > 3^{n - 1}$. Come prima si dimostra che la disuguaglianza non è verificata per $n \ge 11$, dunque restano $0 \le n \le 10$.

Ora non resta che provare a manina i primi $5$ valori dispari di $n$ sostituendoli direttamente nell'equazione iniziale, scoprendo che le soluzioni sono le seguenti: $(3, \: 6)$, $(3, \: 9)$, $(5, \: 9)$, $(5, \: 54)$.

[Saro00]

Scusa per il ritardo.
Giusta, vai col prossimo.