OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
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OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
Siano dati $n$ primi distinti $p_{i}$ maggiori di $3$; detto $a=\prod_{i=1}^{n}p_{i}$, si dimostri che $2^{a(p_{n+1}-1)}-2^{a(p_{n+1}-2)}+...+2^{2a}-2^{a}+1$ non è una potenza di un primo.
Datemi una mano con questo problema... Mi ci sto spremendo le meningi da oggi pomeriggio senza venirne a capo
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- Troleito br00tal
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Re: OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
Penso il primo successivo all'ultimo usato per calcolare $a$
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
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Re: OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
Io un'idea ce l'avrei, e vale se consideriamo $p_{n+1}$ un qualunque primo successivo.
Scriviamo innanzi tutto quella tua "cosa" come $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$.
Si nota facilmente che $$2^{p_{n+1}}+1 \mid {{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$
Ma quindi $2^{p_{n+1}}+1=q^{\alpha}$, tuttavia per il lemma del guadagno di un primo $2^{p_{n+1}}+1$ ha almeno due diversi fattori primi a meno che $p_{n+1}=3$ che è impossibile per ipotesi.
Scriviamo innanzi tutto quella tua "cosa" come $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$.
Si nota facilmente che $$2^{p_{n+1}}+1 \mid {{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$
Ma quindi $2^{p_{n+1}}+1=q^{\alpha}$, tuttavia per il lemma del guadagno di un primo $2^{p_{n+1}}+1$ ha almeno due diversi fattori primi a meno che $p_{n+1}=3$ che è impossibile per ipotesi.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
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Re: OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
Cosa diavolo è il lemma del guadagno?
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Re: OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
Potresti cogliere l'occasione per aprire un bel topic su questo lemma nel glossario; comunque quello che ho scritto è sbagliato, non è vero che $$2^{p_{n+1}}+1 \mid {{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} $$ Ora pubblico la soluzione giusta
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
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Re: OWN - congettura di ignota difficoltà e veridicità solo ipotizzata
In realtà questa era la mia prima soluzione, ma poi avevo provato a semplificarla, sbagliando
Anche qui possiamo considerare un qualunque $p_{n+1}$ successivo.
Allora, possiamo scrivere che $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =\prod_{d \mid a} \Phi_{2 p_{n+1} d} (2)=q^k$$
Sia perciò $x$ un primo che divide $a$, allora vale che $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) =q^{\alpha} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)=q^{\beta}$$
Tuttavia $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) = {{2^{p_{n+1}}+1} \over 3} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)={{3(2^{p_{n+1}x}+1)} \over {(2^x +1)(2^{p_{n+1}}+1)}}$$
Quindi Posso fare $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) \cdot \Phi_{2 p_{n+1} x} (2) ={{2^{p_{n+1} x}+1} \over {2^x+1}}=q^{\alpha + \beta}$$
Ma per il lemma del guadagno di un primo quest'ultima cosa contiene almeno un fattore primo che non è contenuto in ${2^x+1} \over 3$, quindi non possono essere entrambi potenze di $q$.
Probabilmente c'era una via più diretta per farlo ma avevo paura di perdermi da qualche parte quindi ho fatto il giro lungo (sperando che almeno 'sta volta sia giusto).
Anche qui possiamo considerare un qualunque $p_{n+1}$ successivo.
Allora, possiamo scrivere che $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =\prod_{d \mid a} \Phi_{2 p_{n+1} d} (2)=q^k$$
Sia perciò $x$ un primo che divide $a$, allora vale che $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) =q^{\alpha} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)=q^{\beta}$$
Tuttavia $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) = {{2^{p_{n+1}}+1} \over 3} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)={{3(2^{p_{n+1}x}+1)} \over {(2^x +1)(2^{p_{n+1}}+1)}}$$
Quindi Posso fare $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) \cdot \Phi_{2 p_{n+1} x} (2) ={{2^{p_{n+1} x}+1} \over {2^x+1}}=q^{\alpha + \beta}$$
Ma per il lemma del guadagno di un primo quest'ultima cosa contiene almeno un fattore primo che non è contenuto in ${2^x+1} \over 3$, quindi non possono essere entrambi potenze di $q$.
Probabilmente c'era una via più diretta per farlo ma avevo paura di perdermi da qualche parte quindi ho fatto il giro lungo (sperando che almeno 'sta volta sia giusto).
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $