Due domande facili e poi una difficile:
<BR>
<BR>1)consideriamo un trapezio di basi a e b e dividiamolo in due parti di uguale area tracciando un segemento parallelo alle basi. Quanto è lungo il detto segmento.
<BR>
<BR>2) consideriamo un tronco di piramide a basi quadrate parallele, di lato a e b (che fantasia, eh?) e sezioniamolo con un piano parallelo alle due basi, di modo che le due parti così ottenute abbiano lo stesso volume. Qual\'è la superficie della sezione?
<BR>
<BR>3)perchè? ovverosia, c\'è qualche motivo particolare per i due risultati precedenti? generalizzando in n dimensioni si ottiene sempre quel tipo di risultato?
<BR>
<BR>Questi sono i dubbi che angosciano le mie notti insonni <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
Medie e Geometria
Moderatore: tutor
uhm..
<BR>il primo mi ricorda qualcosa, anche una cosa tipo \"analisi dimensionale\" e \"radici dimenticate\", anche se qui le mie origini non centrano...
<BR>beh, il secondo ed il primo discendono direttamente dal terzo, che pare cosa affrontabile, anzi lo è..
<BR>solo la terminologia non sarà certamente chiara né appropriata, vista la mia ignoranza in argomento...
<BR>comunque, per mettere un po\' di chiarezza, parlerò di un\'estensione ad n dimensioni riferendomi alla \"misura\", alla sua \"grandezza\", che fungerà da \"base\" per questa \"piramide\" ad n+1 dimensioni, e alla sua \"misura\"/\"grandezza\" mi riferirò parlando di \"varietà\"...
<BR>magari tutto ciò urterà i sensibili timpani di \"geometri\" più di me come jack o dd o anti.. chiedo ancora scusa!
<BR>ma veniamo al dunque!
<BR>consideriamo questo sottospecie di tronco di piramide... ma perché fermarci alle piramidi? prendiamo una qualsiasi figura \"piana\" (una figura a n-1 dimensioni in un piano n-dimensionale) avente estensione a^n ed un punto esterno a tale \"piano\". prendiamo un altro \"piano\" compreso tra il punto e l\'altro \"piano\", e tracciamo le rette passanti per tale punto e per ogni punto della figura di cui sopra. individueremo sul secondo piano una figura di estensione b^n. ora dobbiamo trovare l\'estensione della figura individuata da un terzo \"piano\" parallelo ai precedenti che divida la varietà compresa tra i due piani e il fascio di rette (quindi il nostro \"tronco di boh\") in due varietà equivalenti...
<BR>ora, prendiamo un piano (bidimensionale) passante per il punto, per il piede di tale punto su uno dei tre (e quindi su tutti e tre) \"piani\" e che intersechi la \"figura\" in almeno due punti. con un po\' di easy similitudini, si trova che la varietà di questo \"tronco di boh\" è [a^(n+1)-b^(n+1)]h/(a-b), dove h è la distanza (lineare) tra i due \"piani\".
<BR>imponendo come variabile (x) la radice n-esima dell\'estensione della figura individuata sul \"piano\" intermedio, si ottiene x = M(a,b,n+1), cioè la media (n+1)-esima di a e b.
<BR>per cui l\'area sarebbe qualcosa come [a^(n+1)+b^(n+1)]^[n/(n+1)]...
<BR>scusate se ho tralasciato un po\' di (ehm.. tutti..) i calcoli, ma non sono poi difficili..
<BR>il primo mi ricorda qualcosa, anche una cosa tipo \"analisi dimensionale\" e \"radici dimenticate\", anche se qui le mie origini non centrano...
<BR>beh, il secondo ed il primo discendono direttamente dal terzo, che pare cosa affrontabile, anzi lo è..
<BR>solo la terminologia non sarà certamente chiara né appropriata, vista la mia ignoranza in argomento...
<BR>comunque, per mettere un po\' di chiarezza, parlerò di un\'estensione ad n dimensioni riferendomi alla \"misura\", alla sua \"grandezza\", che fungerà da \"base\" per questa \"piramide\" ad n+1 dimensioni, e alla sua \"misura\"/\"grandezza\" mi riferirò parlando di \"varietà\"...
<BR>magari tutto ciò urterà i sensibili timpani di \"geometri\" più di me come jack o dd o anti.. chiedo ancora scusa!
<BR>ma veniamo al dunque!
<BR>consideriamo questo sottospecie di tronco di piramide... ma perché fermarci alle piramidi? prendiamo una qualsiasi figura \"piana\" (una figura a n-1 dimensioni in un piano n-dimensionale) avente estensione a^n ed un punto esterno a tale \"piano\". prendiamo un altro \"piano\" compreso tra il punto e l\'altro \"piano\", e tracciamo le rette passanti per tale punto e per ogni punto della figura di cui sopra. individueremo sul secondo piano una figura di estensione b^n. ora dobbiamo trovare l\'estensione della figura individuata da un terzo \"piano\" parallelo ai precedenti che divida la varietà compresa tra i due piani e il fascio di rette (quindi il nostro \"tronco di boh\") in due varietà equivalenti...
<BR>ora, prendiamo un piano (bidimensionale) passante per il punto, per il piede di tale punto su uno dei tre (e quindi su tutti e tre) \"piani\" e che intersechi la \"figura\" in almeno due punti. con un po\' di easy similitudini, si trova che la varietà di questo \"tronco di boh\" è [a^(n+1)-b^(n+1)]h/(a-b), dove h è la distanza (lineare) tra i due \"piani\".
<BR>imponendo come variabile (x) la radice n-esima dell\'estensione della figura individuata sul \"piano\" intermedio, si ottiene x = M(a,b,n+1), cioè la media (n+1)-esima di a e b.
<BR>per cui l\'area sarebbe qualcosa come [a^(n+1)+b^(n+1)]^[n/(n+1)]...
<BR>scusate se ho tralasciato un po\' di (ehm.. tutti..) i calcoli, ma non sono poi difficili..
Non ho capito molto della soluzione di marco quindi posto la mia…
<BR>Che tra l’altro non e’ completa… e magari e’ pure sbagliata
<BR>Sempre se riesco a scriverla in 1 tempo ragionevole
<BR>Vediamo 1 po’.
<BR>Detto x il segmento da trovare, h l’altezza e q l’altezza relativa alla base x.
<BR>Per il trapezio:
<BR>(x-a)/(b-a)=q/h
<BR>(tracciate le altezze che toccano gli estremi della base minore (a) questa proporzione e’ evidente… credo derivi dal teorema di Talete o qualcosa di simile)
<BR>quindi q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>inoltre, secondo il testo del problema,
<BR>(a+x)q=h(b+a)/2 (2)
<BR>la (1) e la (2) messe a sistema dovrebbero dare
<BR>(a+x)(x-a)h/(b-a)=(b+a)h/2
<BR>da cui 2(x²-a²)=b²-a²
<BR>quindi x=sqr[(a²+b²)/2]
<BR>
<BR>per il tronco di piramide
<BR>x e’ il lato del quadrato da trovare
<BR>idem come sopra: sempre per similitudine, q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>sempre x il testo, (a²+ax+x²)q=h(b²+ab+a²)/2 (2)
<BR>sempre mettendo a sistema la (1) e la (2),
<BR>(a²+ax+x²)(x-a)h/(b-a)=(b²+ab+a²)h/2
<BR>da cui 2(x³-a³)=b³-a³
<BR>quindi x=rad cubica[(a³+b³)/2]
<BR>
<BR>per la generalizzazione (manca qualche pezzo…) (qualche GROSSO pezzo)
<BR>dato ‘sto troncodiqualchecosa a n dimensioni, detto sempre x il lato della figura a n-1 dimensioni da trovare, sempre h la distanza tra le due “basi” e q la distanza della figura con lato x da quella con lato a,
<BR>ponendo fn(a,b)=a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+ab^(n-2)+b^(n-1)
<BR>il volume del simpatico troncodinonsoche’ dovrebbe essere
<BR>fn(a,b)·h/n (3)
<BR>anche se manca una dimostrazione
<BR>altra cosa che dovrebbe essere vera ma non so assolutamente dimostrare e’ che per qualunque n (x-a)/(b-a)=q:h
<BR>da cui si ricaverebbe la solita q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>prendendo x buona la (3), verrebbe
<BR>fn(a,x)·q/n=1/2fn(a,b)·h/n (2)
<BR>e mettendo ancora 1 volta a sistema la (1) e la (2) (entrambe da dimostrare <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ) verrebbe
<BR>fn(a,x)·(x-a)=1/2fn(a,b)·(b-a).
<BR>il che significherebbe (facendo 2 conti) che
<BR>x^n-a^n=(b^n-a^n)/2
<BR>e quindi x=radice n-esima[(a^n+b^n)/2].
<BR>
<BR>Spero che tutto cio’ benche’ molto bucherellato non sia completamente sbagliato/inutile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: oscar il 29-07-2003 12:02 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: oscar il 29-07-2003 12:03 ]
<BR>Che tra l’altro non e’ completa… e magari e’ pure sbagliata
<BR>Sempre se riesco a scriverla in 1 tempo ragionevole
<BR>Vediamo 1 po’.
<BR>Detto x il segmento da trovare, h l’altezza e q l’altezza relativa alla base x.
<BR>Per il trapezio:
<BR>(x-a)/(b-a)=q/h
<BR>(tracciate le altezze che toccano gli estremi della base minore (a) questa proporzione e’ evidente… credo derivi dal teorema di Talete o qualcosa di simile)
<BR>quindi q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>inoltre, secondo il testo del problema,
<BR>(a+x)q=h(b+a)/2 (2)
<BR>la (1) e la (2) messe a sistema dovrebbero dare
<BR>(a+x)(x-a)h/(b-a)=(b+a)h/2
<BR>da cui 2(x²-a²)=b²-a²
<BR>quindi x=sqr[(a²+b²)/2]
<BR>
<BR>per il tronco di piramide
<BR>x e’ il lato del quadrato da trovare
<BR>idem come sopra: sempre per similitudine, q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>sempre x il testo, (a²+ax+x²)q=h(b²+ab+a²)/2 (2)
<BR>sempre mettendo a sistema la (1) e la (2),
<BR>(a²+ax+x²)(x-a)h/(b-a)=(b²+ab+a²)h/2
<BR>da cui 2(x³-a³)=b³-a³
<BR>quindi x=rad cubica[(a³+b³)/2]
<BR>
<BR>per la generalizzazione (manca qualche pezzo…) (qualche GROSSO pezzo)
<BR>dato ‘sto troncodiqualchecosa a n dimensioni, detto sempre x il lato della figura a n-1 dimensioni da trovare, sempre h la distanza tra le due “basi” e q la distanza della figura con lato x da quella con lato a,
<BR>ponendo fn(a,b)=a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+ab^(n-2)+b^(n-1)
<BR>il volume del simpatico troncodinonsoche’ dovrebbe essere
<BR>fn(a,b)·h/n (3)
<BR>anche se manca una dimostrazione
<BR>altra cosa che dovrebbe essere vera ma non so assolutamente dimostrare e’ che per qualunque n (x-a)/(b-a)=q:h
<BR>da cui si ricaverebbe la solita q=[(x-a)h]/(b-a) (1)
<BR>prendendo x buona la (3), verrebbe
<BR>fn(a,x)·q/n=1/2fn(a,b)·h/n (2)
<BR>e mettendo ancora 1 volta a sistema la (1) e la (2) (entrambe da dimostrare <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ) verrebbe
<BR>fn(a,x)·(x-a)=1/2fn(a,b)·(b-a).
<BR>il che significherebbe (facendo 2 conti) che
<BR>x^n-a^n=(b^n-a^n)/2
<BR>e quindi x=radice n-esima[(a^n+b^n)/2].
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<BR>Spero che tutto cio’ benche’ molto bucherellato non sia completamente sbagliato/inutile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: oscar il 29-07-2003 12:02 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: oscar il 29-07-2003 12:03 ]
il vaut mieux une tête bien faite qu'une tête bien pleine --Michel Eyquem de Montaigne--
Secondo me, il perche\' di questi risultati sta nel fatto che il rapporto fra i volumi di due figure simili (n-dimensionali) e\' uguale al rapporto due elementi lineari corrispondenti alla n.
<BR>
<BR>Mi sono incartato un po\' a trovare la b del trapezio ragionando come ha fatto oscar sui vari pezzi della figura ma non mi e\' venuto niente di buono e non mi andava di fare tutti i conti. Percio\' ho cambiato strategia. E nel caso del piano e\' venuto fuori quanto segue:
<BR>
<BR>Prolungando i lati obliqui del trapezio ottengo due triangoli uno con base b1 (la maggiore del trapezio) e uno con base b2 (la minore del trapezio).
<BR>
<BR>Si ha che T1/T2=(b1/b2)^2 dove T1 e T2 sono le aree dei traingoli di base b1 e b2 rispettivamente.
<BR>
<BR>Sia b il segmento (parallelo a b1 e b2) che divide il trapezio T=T1-T2 in due parto uguali. Sulla base dello stesso principio, si ha che, ad esempio, (T/2+T2)/T2=(b/b2)^2 da questa si ottiene che 2b^2=b1^2+b2^2.
<BR>
<BR>Come si puo\' notare il ragionamento fatto vale per qualsiasi dimensione l\'unico cambiamento essendo l\'esponente delle varie potenze.
<BR>
<BR>
<BR>La formula nel caso generale dovrebbe essere:
<BR>
<BR>
<BR>s1^(n/(n-1) + s2^(n/(n-1) = 2s^(n/(n-1)
<BR>
<BR>Dove (detto in manierasicuramente impropria- ma non sapreoi come dirlo propriamente) le varie s sono i piano (n-1)dimensionali che tagliano il fascio di rette.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 29-07-2003 13:55 ]
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<BR>Mi sono incartato un po\' a trovare la b del trapezio ragionando come ha fatto oscar sui vari pezzi della figura ma non mi e\' venuto niente di buono e non mi andava di fare tutti i conti. Percio\' ho cambiato strategia. E nel caso del piano e\' venuto fuori quanto segue:
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<BR>Prolungando i lati obliqui del trapezio ottengo due triangoli uno con base b1 (la maggiore del trapezio) e uno con base b2 (la minore del trapezio).
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<BR>Si ha che T1/T2=(b1/b2)^2 dove T1 e T2 sono le aree dei traingoli di base b1 e b2 rispettivamente.
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<BR>Sia b il segmento (parallelo a b1 e b2) che divide il trapezio T=T1-T2 in due parto uguali. Sulla base dello stesso principio, si ha che, ad esempio, (T/2+T2)/T2=(b/b2)^2 da questa si ottiene che 2b^2=b1^2+b2^2.
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<BR>Come si puo\' notare il ragionamento fatto vale per qualsiasi dimensione l\'unico cambiamento essendo l\'esponente delle varie potenze.
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<BR>La formula nel caso generale dovrebbe essere:
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<BR>s1^(n/(n-1) + s2^(n/(n-1) = 2s^(n/(n-1)
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<BR>Dove (detto in manierasicuramente impropria- ma non sapreoi come dirlo propriamente) le varie s sono i piano (n-1)dimensionali che tagliano il fascio di rette.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 29-07-2003 13:55 ]