CESENATICO 3 2004
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CESENATICO 3 2004
Non so se è già passato per il forum, ma mi sembrava carino, perciò lo posto (anche perché mi servono pareri sulla mia soluzione, diversa da quella proposta)...
$a)$ Determinare se $2005^{2004}$ è somma di due quadrati perfetti positivi.
$b)$ determinare se $2004^{2005}$ è somma di due quadrati perfetti positivi
$c)$ BONUS: dimostrare il punto $b)$ senza fare ricorso ai moduli (e quindi anche alla divisibilità)
$a)$ Determinare se $2005^{2004}$ è somma di due quadrati perfetti positivi.
$b)$ determinare se $2004^{2005}$ è somma di due quadrati perfetti positivi
$c)$ BONUS: dimostrare il punto $b)$ senza fare ricorso ai moduli (e quindi anche alla divisibilità)
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Re: CESENATICO 3 2004
Per il punto a) è sufficiente tenere a mente la terna pitagorica $(3,4,5)$. A questo punto notiamo che $2005=401 \cdot 5$. Pongo $x=401^{1002}\cdot 3 \cdot 5^{1001}$ e $y=401^{1002}\cdot 4 \cdot 5^{1001}$ ottenendo quindi che $x^2+y^2 = 401^{2004} \cdot 5^{2002} (3^2+4^2) = 401^{2004} \cdot 5^{2002} (5^2) = 2005^{2004}$.
Per il punto b) pongo $2004^{2005} = x^2+y^2$. Noto a questo punto che $\pmod 3$ ottengo che $3 | x$ e $3 | y$. Ma quindi $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$ ma $v_3(2004)^{2005} \equiv_2 1$ da cui deduciamo che non esistono due quadrati perfetti tali che la loro somma valga $2004^{2005}$.
Per il punto b) pongo $2004^{2005} = x^2+y^2$. Noto a questo punto che $\pmod 3$ ottengo che $3 | x$ e $3 | y$. Ma quindi $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$ ma $v_3(2004)^{2005} \equiv_2 1$ da cui deduciamo che non esistono due quadrati perfetti tali che la loro somma valga $2004^{2005}$.
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Re: CESENATICO 3 2004
Che significa $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$? Comunque, buone le prime due, che ne dici di provare anche il bonus?
Re: CESENATICO 3 2004
Significa che $v_3(x^2+y^2)$ è pari, cioè che l'esponente di $3$ nella fattorizzazione di $x^2+y^2$ è un numero pari, ma $x^2+y^2=2004^{2005}$ e dunque dovresti avere che $2005$ è pari, un po' falsa come tesi.
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Re: CESENATICO 3 2004
Ingegnosa questa roba! Ho provato a leggerla sulla dispensa che era stata pubblicata poco tempo fa, ma non ci avevo capito nulla, grazie!
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Re: CESENATICO 3 2004
Non so se puoi dirlo così per scontato, ok che se elevi al quadrato le potenze di tre diventano pari, ma chi ti dice che sommandole non si aggiunga un altro fattore 3? Forse è meglio che spieghi bene il perchè di questoGiovanni_98 ha scritto:Ma quindi $v_3(x^2+y^2) \equiv_2 0$
Penso che sia per questo che nelle soluzioni ufficiali si usa una specie di discesa infinita
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Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
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Re: CESENATICO 3 2004
Allora sia $a=v_3(x)$ e $b=v_3(y)$. Chiaramente se non sono uguali $c=v_3(x^2+y^2)=2 \text{min} \{a,b\}$ e quindi chiaramente $c \equiv_2 0$. Se invece sono uguali ed isolo il fattore $3^{2v_3(a)}$ ho una somma di quadrati entrambi congrui a $1 \pmod 3$ dal momento che i residui quadratici modulo $3$ sono solo $0$ e $1$ da cui $c=v_3(a^2+b^2)=2v_3(a)=2v_3(b)$ e quindi vale ancora $c\equiv_2 0$.
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Re: CESENATICO 3 2004
Ok ora va bene! Come puoi vedere come cosa non è scontatissima quindi è meglio specificarla, ora come soluzione è completa
PS nelle ultime due righe non dovrebbe essere [math]
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