Boh, io posto.
SL 2002, G4
Le circonferenze $S_1,S_2$ si intersecano in $P,Q$. Siano $A_1,B_1$ punti variabili su $S_1$. Siano $A_2=A_1P \cap S_2,B_2=B_1P \cap S_2,C=A_1B_1 \cap A_2B_2$. Dimostrare che i circocentri di $A_2A_1C$ stanno su una stessa circonferenza (al variare di $A_1,B_1$).
77. Luogo dei circocentri
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Troleito br00tal
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Re: 77. Luogo dei circocentri
Angoli orientati.
$\measuredangle CA_1Q = \measuredangle B_1A_1Q$ per l'allineamento di $A_1$, $B_1$, $C$.
$\measuredangle B_1A_1Q = \measuredangle B_1PQ$ per la ciclicità di $A_1B_1QP$.
$\measuredangle B_1PQ = \measuredangle B_2PQ$ in virtù della collinearità di $B_1$, $P$, $B_2$.
$\measuredangle B_2PQ = \measuredangle B_2A_2Q$ dal momento che $PQA_2B_2$ è ciclico.
$\measuredangle B_2A_2Q = \measuredangle CA_2Q$ per l'allineamento di $A_2$, $B_2$, $C$.
Dunque $\measuredangle CA_1Q = \measuredangle CA_2Q$, da cui la conciclicità dei punti $C$, $A_1$, $Q$, $A_2$. Ma allora il circocentro di $\triangle A_1A_2C$ coincide con quello di $\triangle A_1A_2Q$, il quale ovviamente non dipende da $B_1$.
Dimostriamo ora che l'angolo $\measuredangle A_1QA_2$ è costante al variare di $A_1$ su $S_1$. Siano quindi $A_1$, $A_1'$ punti su $S_1$ e $A_2$, $A_2'$ i corrispondenti su $S_2$ (come il buonsenso suggerisce). Si ha che $\measuredangle A_1QA_2 = \measuredangle A_1QA_1' + \measuredangle A_1'QA_2$ e $\measuredangle A_1'QA_2' = \measuredangle A_1'QA_2 + \measuredangle A_2QA_2'$. Dobbiamo quindi mostrare che $\measuredangle A_1QA_1' = \measuredangle A_2QA_2'$.
$\measuredangle A_1QA_1' = \measuredangle A_1PA_1'$ per ciclicità.
$\measuredangle A_1PA_1' = \measuredangle A_2PA_2'$ per collinearità.
$\measuredangle A_2PA_2' = \measuredangle A_2QA_2'$ per l'altra ciclicità.
Come volevamo.
Denotiamo con $O$ il circocentro che ci interessa. Siano inoltre $O_1$ e $O_2$ i centri di $S_1$ ed $S_2$ rispettivamente. $O$ si trova sugli assi dei segmenti $A_1Q$ e $A_2Q$, i quali passano anche per $O_1$ $O_2$. Posto dunque $M_i = \; \text{p.to medio di} \; A_iQ$, vale
$$\measuredangle O_1OO_2 = \measuredangle M_1OM_2 \stackrel{(\star)}{=} \measuredangle M_1QM_2 = \measuredangle A_1QA_2$$
($(\star)$ segue dal fatto che $OM_1QM_2$ è inscritto nella circonferenza di diametro $OQ$) e quest'ultimo, come mostrato prima, è indipendente dalla scelta di $A_1$.
Da tutto ciò segue che il luogo dei circocentri del triangolo $\triangle A_1A_2C$ giace inetramente su una circonferenza passante per $O_1$ e $O_2$.
$\measuredangle CA_1Q = \measuredangle B_1A_1Q$ per l'allineamento di $A_1$, $B_1$, $C$.
$\measuredangle B_1A_1Q = \measuredangle B_1PQ$ per la ciclicità di $A_1B_1QP$.
$\measuredangle B_1PQ = \measuredangle B_2PQ$ in virtù della collinearità di $B_1$, $P$, $B_2$.
$\measuredangle B_2PQ = \measuredangle B_2A_2Q$ dal momento che $PQA_2B_2$ è ciclico.
$\measuredangle B_2A_2Q = \measuredangle CA_2Q$ per l'allineamento di $A_2$, $B_2$, $C$.
Dunque $\measuredangle CA_1Q = \measuredangle CA_2Q$, da cui la conciclicità dei punti $C$, $A_1$, $Q$, $A_2$. Ma allora il circocentro di $\triangle A_1A_2C$ coincide con quello di $\triangle A_1A_2Q$, il quale ovviamente non dipende da $B_1$.
Dimostriamo ora che l'angolo $\measuredangle A_1QA_2$ è costante al variare di $A_1$ su $S_1$. Siano quindi $A_1$, $A_1'$ punti su $S_1$ e $A_2$, $A_2'$ i corrispondenti su $S_2$ (come il buonsenso suggerisce). Si ha che $\measuredangle A_1QA_2 = \measuredangle A_1QA_1' + \measuredangle A_1'QA_2$ e $\measuredangle A_1'QA_2' = \measuredangle A_1'QA_2 + \measuredangle A_2QA_2'$. Dobbiamo quindi mostrare che $\measuredangle A_1QA_1' = \measuredangle A_2QA_2'$.
$\measuredangle A_1QA_1' = \measuredangle A_1PA_1'$ per ciclicità.
$\measuredangle A_1PA_1' = \measuredangle A_2PA_2'$ per collinearità.
$\measuredangle A_2PA_2' = \measuredangle A_2QA_2'$ per l'altra ciclicità.
Come volevamo.
Denotiamo con $O$ il circocentro che ci interessa. Siano inoltre $O_1$ e $O_2$ i centri di $S_1$ ed $S_2$ rispettivamente. $O$ si trova sugli assi dei segmenti $A_1Q$ e $A_2Q$, i quali passano anche per $O_1$ $O_2$. Posto dunque $M_i = \; \text{p.to medio di} \; A_iQ$, vale
$$\measuredangle O_1OO_2 = \measuredangle M_1OM_2 \stackrel{(\star)}{=} \measuredangle M_1QM_2 = \measuredangle A_1QA_2$$
($(\star)$ segue dal fatto che $OM_1QM_2$ è inscritto nella circonferenza di diametro $OQ$) e quest'ultimo, come mostrato prima, è indipendente dalla scelta di $A_1$.
Da tutto ciò segue che il luogo dei circocentri del triangolo $\triangle A_1A_2C$ giace inetramente su una circonferenza passante per $O_1$ e $O_2$.
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Troleito br00tal
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