Corde e punti medi

[AlexThirty]

Data una circonferenza, prendiamo un punto fisso su di essa e da quel punto tracciamo tutte le corde che hanno come secondo estremo ogni altro punto della circonferenza. Dimostrare che il luogo dei punti medi di tali corde è una circonferenza.

[luca95]

Con i complessi viene in due righe...

Testo nascosto:

Senza perdita di generalità possiamo centrare la circonferenza nell'origine del piano di gauss, prenderla di raggio 1 e prendere come punto fisso il punto 1.
Allora il luogo dei punti medi delle corde sarà $ \displaystyle\frac{1+e^{i\theta}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{e^{i\theta}}{2}\hspace{0.6cm} $ al variare di $ \theta $, e si vede chiaramente che questa è una circonferenza di centro $ \frac{1}{2} $ e raggio $ \frac{1}{2} $.

[AlexThirty]

Perfetto! Qualche idea senza complessi invece?

[luca95]

L'omotetia che ha come centro il punto fisso P e come rapporto $ \frac{1}{2} $ manda la circonferenza centrata in O in un'altra circonferenza di diametro $ \frac{OP}{2} $, tutti i secondi estremi vanno nei punti medi delle corde che dunque devono stare su tale circonferenza.

[AlexThirty]

Perfetto grazie

[erFuricksen]

Comunque è molto semplice, puoi usare anche il piano cartesiano e con pochi più conti che in complessi lo chiudi.

[Drago96]

La via di quelli scarsi in geometria invece è: detto $O$ il centro, $P$ il punto fisso, $Q$ il punto mobile e $M$ il punto medio.
Abbiamo $OP=OQ$, $MP=MQ$ e $OM$ in comune, quindi $\triangle OMP\cong \triangle OMQ$ e dato che $Q,M,P$ sono allineati questo implica $\angle OMP=\pi/2$ per ogni scelta di $Q$ (e quindi di $M$). Allora $M$ guarda sotto un angolo fisso di $\pi/2$ il segmento $OP$, perciò $M$ appartiene alla circonferenza di diametro $OP$