DUBBI ESISTENZIALI SUI POLINOMI

[Enigmatico]

Ciao ragazzi, spero di non ripetere un post già vecchio, ma non ho trovato nulla tra i passati...

DOMANDA 1: Sapete dirmi quali sono le relazioni interessanti tra le radici di un polinomio? Tipo se esiste una formula che descrive la somma delle n-esime potenze di tali radici? O la loro somma? O il prodotto?

DOMANDA 2: Non capisco proprio in quali contesti mi potrebbe tornare utile il principio d'identità dei polinomi, potreste farmi qualche esempio?

[matpro98]

RISPOSTA 1 formule di Viéte e giochi un po' finché non trovi quello che vuoi, tipo se hai $ax^2+bx+c=0$, e vuoi la somma dei quadrati delle radici, sarà $(- \frac{b}{a})^2-2 \frac{c}{a} $

[Lasker]

RISPOSTA 1bis: Cerca "Newton's Sums" oppure "Vieta's Formulas" su google

RISPOSTA 2: C'è un esercizio molto famoso in cui è utile e risparmia conti (per fare un esempio)

Dimostrare che, se $a,b,c$ sono reali distinti fissati, vale
$$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}=1\ \ \ \ \forall\ x\in\mathbb{R}$$

[darkcrystal]

tipo se hai ax+by+c=0

Ehm, immagino $ax^2+bx+c=0$...

[matpro98]

Uhh... sì sì, ovvio