Ecco la risposta, Lucio

[miccia]

Ciao!
<BR>
<BR>Questa vorrebbe essere la soluzione al problema che mi hai proposto in chat:
<BR>
<BR>-immaginiamo di disegnare una tabella per l\'operazione del gruppo
<BR>-essendo il numero degli elementi di G 2n, ed essendo l\'operazione del gruppo interna
<BR>avremo 2n volte e (e è l\'el. neutro) in tabella
<BR>-inoltre a\'*a=a*a\'=e
<BR>per cui su ogni riga e su ogni colonna ci sarà una e, e le e saranno simmetriche rispetto alla diag. princ.
<BR>-inoltre ci sarà una e sulla diagonale in corrispondenza di e*e (che è =e) quindi, resteranno 2n-1 e da sistemare simmetricamente rispetto alla diagonale: ciò implica che un\'altra e appartenga alla diagnoale (cioè una e diversa da quella che corrisp. a e*e=e)
<BR>-se c\'è una e sulla diagonale, (naturalmente diversa dalla e che sta di fronte alle altre e), allora esiste a tale che a*a=e e a=/= e
<BR>-quindi esisterà un elemento di ordine 2
<BR>
<BR>non è che ho detto troppe cavolate?
<BR>ciao
<BR>mircea <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">

[Gauss]

Beeeeello! Allora c\'è qualcuno qui che conosce un po\' di algebra! Non ne avevo mai parlato perchè non si tratta di un argomento prettamente olimpico, ma se vi va, perchè non iniziamo a postare problemi di questo argomento supponendo al titolo un suffisso tipo [ALG].
<BR>
<BR>Se non mi sbaglio si intendeva dimostrare che in un gruppo di ordine pari c\'è almeno un elemento di ordine 2. Se non sbaglio ce ne sono comunque un numero dispari.
<BR>
<BR>Rilancio con due problemi facili facili:
<BR>1-Sia G un gruppo e C il suo centro. se a appartenenete a G è l\'unico suo elemento di ordine 2, allora a appartiene al centro di G.
<BR>2-Sia G un gruppo e a un suo elemnto di ordine primo p non appartenente al centro di G. Sapendo che gli unico elementi di ordine p sono a, a^2, ..., a^(p-1), dimostrare che il sottogruppo ciclico generato da a è normale in G
<BR>
<BR>Ciao, e buon gioco.

[Lucio]

Mircea: l\'unica cosa sbagliata che hai detto è che avremo 2n \"e\" nella matrice (tu stesso dimostri che sono di meno!) cmq la sostanza è chiara.
<BR>Per il resto, sine verbis <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>Riscrivo il testo dell\'esercizio, x chi lo volesse sapere: dimostrare che in un gruppo di ordine pari esiste un elemento di ordine 2.

[DD]

Dove si può trovare qualcosa per capire se non risolvere questo tipo di problemi? Se non avete link utili mi date un po\' di definizioni? C\'entrano qualcosa le matrici (altra mia lacuna)?

[Gauss]

Si tratta di algebra astratta. Un gruppo è per esempio un insieme non vuoto su cui è definita un operazione binaria per la quale questo insieme è chiuso. Possiede il neutro (e) taleche a*e=e*a=a, per ogni a, e contiene l\'inverso di ogni a, tale che a^-1*a=a*a^-1=e.

[Rhossili]

(...e l\'operazione del gruppo ha la proprieta\' associativa; questo permette di risolvere tutte le equazioni in una incognita del tipo (a*x)=b)
<BR>

[Gauss]

già, mi ero dimeticato <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">

[FrancescoVeneziano]

Io non so molto di algebra, vorrei chiarito un dubbio, anzi, corretta una dimostrazione sbagliata.
<BR>
<BR>Sia a un elemento di ordine 2
<BR>“Dimostriamo” che a appartiene al centro di G
<BR>Infatti, se non gli appartenesse
<BR>ax=\\=xa
<BR>Sia ax=k1 e xa=k2, quindi k1=\\=k2
<BR>(k1)^(-1)=(ax)^(-1)=a^(-1)x^(-1)=ax^(-1) perché a è di ordine 2
<BR>moltiplichiamo (k1)^(-1) per k2
<BR>ax^(-1)xa=a^2=e
<BR>quindi (k1)^(-1)k2=e
<BR>moltiplichiamo dal lato sinistro per k1
<BR>k1(k1)^(-1)k2=k1
<BR>k2=k1 contraddizione.
<BR>
<BR>Soltanto che nella pseudo-dimostrazione non si usa il fatto che a è l’unico elemento di ordine due.
<BR>Potreste dirmi dov’è l’errore?
<BR>Grazie.
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>

[camma]

L\'errore sta nel dire che (ax)^(-1)=a^(-1)x^(-1), cosa che e\' vera se e solo se a ed x commutano.
<BR>L\'inverso di ax e\' infatti x^(-1)a^(-1) che moltiplicato per ax sia a destra sia a sinistra fa l\'identita\', mentre a priori axa^(-1)x^(-1) puo\' fare quello che vuole.
<BR>Effettivamente e\' una trappola in cui e\' facile cadere se non si e\' studiata un po\' di algebra.
<BR>Ciao

[DD]

Che cosa sono l\'ordine di un gruppo e l\'ordine di un elemento?

[Gauss]

L\'ordine di un gruppo, nel caso di un gruppo finito, è la sua cardinalità. Viceversa l\'ordine di un elemento a , o periodo, è il minimo numero naturale n, tale che a^n=u, dove u è l\'unità del gruppo.

[BlaisorBlade]

1) Allora, miccia(ci siamo visti a Cesenatico, l\'ultima notte, mentre davi ripassi di rumeno a un tuo compagno; sono Paolo Giarrusso, di Catania!), la tua dimostrazione ti complica la vita. Sia G il nostro gruppo di ordine pari.Accoppiamo ogni elemento a col suo inverso, se diverso da a(così otteniamo tante coppie; a inverso di b è simmetrica, e ogni numero ha un solo inverso). Togliamo da G tali coppie; resta un numero pari di elementi, che è non nullo perché c\'è e; di questi, uno è e, tutti gli altri sono in numero dispari e non avendo un inverso diverso da sé sono involuzioni(quindi le involuzioni sono sempre in numero dispari,come diceva Gauss). È anche più semplice di come sembra dalla lunghezza. Ma del resto, a guardar bene, si vede che è la tua stessa.
<BR>Lucio, guarda che effettivamente ci sono 2n e nella tabella, come ha detto Mircea.
<BR>
<BR>Gauss, cos\'è un sottogruppo normale in G?