Ero indeciso fra TdN e Algebra
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Ero indeciso fra TdN e Algebra
Siano $ x $ e $ y $ due numeri razionali, dimostrare che
$ {x^2+2y^2 \over 2x^2+y^2} $ è un quadrato perfetto in $ \mathbb{Q} $ se e solo se $ x= \pm y $
Fonte: AoPS
$ {x^2+2y^2 \over 2x^2+y^2} $ è un quadrato perfetto in $ \mathbb{Q} $ se e solo se $ x= \pm y $
Fonte: AoPS
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
(Ho tolto lo $0$ dalle ipotesi perché sembra poco vero ).
Restringiamo un po' le ipotesi, da $\mathbb{Q}/\{0\}$ a $\mathbb{N}/\{0\}$. Difatti, consideriamo $x=m/n$ e $n=p/q$, e ci rimane da dimostrare la tesi con $x\mapsto mq$ e $y\mapsto pn$. Quindi, se dimostriamo la tesi per $x,y\in\mathbb{Z}/\{0\}$ abbiamo dimostrato anche per $x,y\in\mathbb{Q}/\{0\}$. Inoltre, siccome $x$ e $y$ sono presenti solo come quadrati, possiamo supporli positivi e restringere il campo a $\mathbb{N}/\{0\}$.
Ora, sostituendo $x\mapsto a$, $y\mapsto a$, si vede che un verso della freccia del se e solo se è dimostrato. Infatti in questo caso si ha che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2}{3a^2}=1,\]
che è un quadrato perfetto.
Ora, suppongo $x\mapsto a$ e $y\mapsto a+b$, con $b\ge0$. Allora so che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2+2b^2+4ab}{3a^2+b^2+2ab}\]
dev'essere un quadrato perfetto, supponiamo $t^2$. Allora
\[3a^2+2b^2+4ab=3a^2t^2+b^2t^2+2abt^2 \Rightarrow 3a^2(1-t^2)=(t^2-2)(2a+b)b.\]
Ora, se si avesse che $t\neq 1$, $LHS$ sarebbe negativo e $RHS$ negativo, il che è piuttosto falso.
Quindi si deve avere $t=1$, dunque si deve avere che $a=-b/2$, che è falso perché abbiamo supposto $a$ e $b$ positivi, oppure che $b=0$: quindi che $x=y$ e abbiamo dimostrato l'altro verso della freccia.
È giusta?
P.S.: era parecchio TdN, il problema
Restringiamo un po' le ipotesi, da $\mathbb{Q}/\{0\}$ a $\mathbb{N}/\{0\}$. Difatti, consideriamo $x=m/n$ e $n=p/q$, e ci rimane da dimostrare la tesi con $x\mapsto mq$ e $y\mapsto pn$. Quindi, se dimostriamo la tesi per $x,y\in\mathbb{Z}/\{0\}$ abbiamo dimostrato anche per $x,y\in\mathbb{Q}/\{0\}$. Inoltre, siccome $x$ e $y$ sono presenti solo come quadrati, possiamo supporli positivi e restringere il campo a $\mathbb{N}/\{0\}$.
Ora, sostituendo $x\mapsto a$, $y\mapsto a$, si vede che un verso della freccia del se e solo se è dimostrato. Infatti in questo caso si ha che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2}{3a^2}=1,\]
che è un quadrato perfetto.
Ora, suppongo $x\mapsto a$ e $y\mapsto a+b$, con $b\ge0$. Allora so che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2+2b^2+4ab}{3a^2+b^2+2ab}\]
dev'essere un quadrato perfetto, supponiamo $t^2$. Allora
\[3a^2+2b^2+4ab=3a^2t^2+b^2t^2+2abt^2 \Rightarrow 3a^2(1-t^2)=(t^2-2)(2a+b)b.\]
Ora, se si avesse che $t\neq 1$, $LHS$ sarebbe negativo e $RHS$ negativo, il che è piuttosto falso.
Quindi si deve avere $t=1$, dunque si deve avere che $a=-b/2$, che è falso perché abbiamo supposto $a$ e $b$ positivi, oppure che $b=0$: quindi che $x=y$ e abbiamo dimostrato l'altro verso della freccia.
È giusta?
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Piccola correzione tipografica... si scrive $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$ (la barra va nell'altro verso).
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Ho qualche perplessità sulla soluzione di Talete: innanzitutto non mi è chiaro perché puoi supporre $y \geq x$ (che è quello che fai scrivendo $y=a+b$ con $b \geq 0$... dovresti perlomeno trattare anche il caso $y \leq x$). Inoltre il testo dice che quel rapporto è il quadrato di un numero razionale, non di un intero, quindi mi pare che nessuno ti dica che $t \neq 1$ implica $t \geq 2$, cosa che però stai usando: per esempio, se $t=1+1/100$, allora $1-t^2$ è negativo e $t^2-2$ anche!
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Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Ho dimenticato il caso $y\le x$... ero di fretta e me lo sono scordato.
Scusate. Però, per l'altra perplessità, prima ho "ristretto il campo" dicendo che se era vero per gli interi, era vero anche per i razionali!
P.S. grazie fph per la correzione!
Testo nascosto:
P.S. grazie fph per la correzione!
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Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Quello che ti dice Darkcrystal è che tu hai detto che se era vero per $ x $ e $ y $ interi allora era vero anche per $ x $ e $ y $ razionali, ma questo non vuol dire che lo stesso ragionamento è valido per il rapporto in questione
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Aspetta, non capisco. Io dico questo: supponiamo che ci siano $x$ e $y$ in $\mathbb{Q}^+$ tali che il rapporto in questione è un quadrato perfetto, e che $x\neq y$. Allora, scrivendo $x=m/n$ e $y=p/q$ devo avere che $mq$ e $np$ rispettano il fatto che il rapporto
\[\frac{(mq)^2+2(np)^2}{2(mq)^2+(np)^2}\] è un quadrato perfetto, ma per quello che ho dimostrato io sugli interi si deve avere $mq=np \Rightarrow m/n=p/q$, che nega la tesi. Dove sbaglio?
\[\frac{(mq)^2+2(np)^2}{2(mq)^2+(np)^2}\] è un quadrato perfetto, ma per quello che ho dimostrato io sugli interi si deve avere $mq=np \Rightarrow m/n=p/q$, che nega la tesi. Dove sbaglio?
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Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Poni ad esempio che $ t^2 = {9 \over 16} $ , allora LHS e RHS sono concordi
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Allora, quello che hai fatto è solo $\displaystyle\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{(m/n)^2+2(p/q)^2}{2(m/n)^2+(p/q)^2}=\frac{(mq)^2+2(pn)^2}{2(mq)^2+(pn)^2}$ ovvero ci si è limitati a cercare $x,y\in\mathbb N$; tuttavia noi sappiamo solo che il rapporto è il quadrato di un razionale, come ad esempio $\frac4{25}=\left(\frac2 5\right)^2$
La tua equazione, con $t=m/n$, diventa $3a^2(n^2-m^2)=(m^2-2n^2)(2a+b)b$ e hai solo $n^2\le m^2\le2n^2$
P.S: non l'ho provato, quindi non saprei dire nulla di più xD
La tua equazione, con $t=m/n$, diventa $3a^2(n^2-m^2)=(m^2-2n^2)(2a+b)b$ e hai solo $n^2\le m^2\le2n^2$
P.S: non l'ho provato, quindi non saprei dire nulla di più xD
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Ah, ok, grazie mille, e scusate... avevo capito male la consegna... quindi il rapporto può essere il quadrato di un qualsiasi razionale? Si mette male, allora...
Dunque, dovrei fare una roba del genere:
\[(x^2+2y^2)s^2=(2x^2+y^2)t^2 \Rightarrow x^2(s^2-2t^2)=y^2(t^2-2s^2)\]
con $x,y,t,s \in \mathbb{N}^+$ e dimostrare che $x=y$.
Quindi, ora consideriamo il tutto modulo $x$, e poi modulo $y$. I casi sono tre:
(1) $x\mid y$ e $y\mid x$. Sembra ovvio che $x=y$.
(2) $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid (s^2-2t^2)$. Scrivo $s^2=ay+2t^2$ e guardo modulo $x$. Si deve avere $3t^2+2ay\equiv0$, quindi scrivo $t^2=(bx-2ay)/3$ e $s^2=(2bx-ay)/3$. Quindi la tesi è:
\[x^2(bx+ay)=y^2(-bx-ay),\]
che per semplificazione diventa $x^2+y^2=0$, che è impossibile.
(3) $x\mid y$ e $y\mid (s^2-2t^2)$ oppure $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid x$ (sono equivalenti). Ecco, qui ci ho provato ma la soluzione mi viene lunghissima... qualcuno ne ha una più breve?
Dunque, dovrei fare una roba del genere:
\[(x^2+2y^2)s^2=(2x^2+y^2)t^2 \Rightarrow x^2(s^2-2t^2)=y^2(t^2-2s^2)\]
con $x,y,t,s \in \mathbb{N}^+$ e dimostrare che $x=y$.
Quindi, ora consideriamo il tutto modulo $x$, e poi modulo $y$. I casi sono tre:
(1) $x\mid y$ e $y\mid x$. Sembra ovvio che $x=y$.
(2) $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid (s^2-2t^2)$. Scrivo $s^2=ay+2t^2$ e guardo modulo $x$. Si deve avere $3t^2+2ay\equiv0$, quindi scrivo $t^2=(bx-2ay)/3$ e $s^2=(2bx-ay)/3$. Quindi la tesi è:
\[x^2(bx+ay)=y^2(-bx-ay),\]
che per semplificazione diventa $x^2+y^2=0$, che è impossibile.
(3) $x\mid y$ e $y\mid (s^2-2t^2)$ oppure $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid x$ (sono equivalenti). Ecco, qui ci ho provato ma la soluzione mi viene lunghissima... qualcuno ne ha una più breve?
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