EQUAZIONE FUNZIONALE MONOTONA

[PIELEO13]

Trovare tutte le funzioni strettamente monotone $ \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ che verifichino la relazione:

f(x + f(y)) = f(x) + y

[dido174]

Vedo in primis che di soluzioni costanti non ce ne sono perchè, detto $k$ il loro valore, avrei $k=k+y \; \forall y$

Il RHS è suriettivo: fissata $x$ e quindi $f(x)$, variando $y$ si raggiunge ogni valore, allora è suriettivo anche il $LHS$, in particolare è suriettiva la funzione più esterna su di esso applicata $\rightarrow$ $f$ è suriettiva.
Ora sia $P(a,b)$ la solita maniera per dire che sostituisco il valore di $a$ alla $x$ e $b$ alla $y$. Scelgo $k$ tale che $f(k)=0$ (si può fare grazie alla suriettività), poi:
$P(x,k) \rightarrow$ $f(x) = f(x) +k$ da cui $k=0$ e quindi $f(0)=0$
$P(0,y) \rightarrow$ $f(f(y)) = y$
Ora sfruttando il fatto che $f(x)$ è suriettiva, faccio
$P(f(x),y) \rightarrow$ $f(f(x)+f(y)) = f(f(x))+y = x+y $, applico $f$ a LHS e RHS ottenendo $f(f(f(x)+f(y))) = f(x+y)$, semplifico due $f$ al LHS e ottengo $$f(x)+f(y) = f(x+y)$$ che è una Cauchy. In $\mathbb{Q}$ la soluzione è sempre $f(x)=x$, utilizzo l'ipotesi bonus che sia monotona per estendere a $\mathbb{R}$. Dunque $f(x) = x$, che verificata funziona.

[erFuricksen]

Hai supposto che nella Cauchy la soluzione fosse $ f(x)=x $ invece che $ f(x)=\lambda x $, in pratica hai detto che $ \lambda =1 $, perdendoti dei casi validissimi come ad esempio $ f(x)=-x $

Avresti dovuto dire:
riprendiamo l'equazione di partenza $ f(x+f(y))=f(x)+y $
allora avremo $ \lambda (x + \lambda y)= \lambda x + y $
$ \lambda x + \lambda ^2 y= \lambda x +y $
$ \lambda ^2 = 1 $ e quindi $ \lambda = \pm 1 $

[Pierbene96]

Non basta porre x = y ? Sostituendo, f(x + f(y)) = f(x) + y diventerebbe f(y + f(y)) = f(y) + y e, ponendo y + f(y) = k, ne deriverebbe f(k) = k
Dov'è l'errore?

[matpro98]

Se hai $f(x)=-x$, allora il tuo k è $0$ e non puoi distinguere se funziona col + o col -

[scambret]

Diventerebbe $f(k)=k$ per i $k$ esprimibili come $y+f(y)$, ma chi dice che coprono tutto $\mathbb{R}$?

[baden96p]

Ragazzi ho abbozzato uno svolgimento, l'ho scritto direttamente con Kile perché sono più veloce (lo allego),
potreste vederlo e correggerlo?
Grazie

[karlosson_sul_tetto]

Direi che non va bene: tu presupponi che la tua funzione sia lineare, ma può essere una cosa polinomiale tipo $ f(x)=5x^4-3x^2+\frac{\pi}{2}x-1 $, una cosa ancor più brutta tipo $ f(x)=\frac{1}{x} (\sin \frac{2x^2}{x-3}) e^{log^x2} $ o anche una cosa non continua come la funzione di Dirichlet: insomma, una funzione, purtroppo, può essere brutta a piacere e senza ipotesi come la continuità, monotonia, polinomialità.

[baden96p]

sì, è vero, ci avevo pensato, ma mi è venuto in mente solo quello
considerando una funzione lineare, però, può essere quella una soluzione? o no?
e come si potrebbero eventualmente escludere tutte le funzioni non lineari?

[karlosson_sul_tetto]

1) La risposta è si, ma:
2) In genere nelle equazioni funzionali è più comodo dimostrare che $f(\text{roba})$ è qualcosa, piuttosto che non è qualcosa; di solito bastano passaggi algebrici e/o sostituzioni furbe per poter arrivare a dire $f(x)=3x+5$ o qualcosa di simile; cosi è la soluzione di dido174 (tralasciando la parte "questa è una cauchy" che è un pezzo che si da per noto nelle funzionali ).

Se sei poco pratico di equazioni funzionali, ti consiglio questo da leggere (o i video A3 del seniorbasic se vuoi strafare)

[baden96p]

Credo che l'A3 basic vada bene grazie