Funzionale

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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erFuricksen
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Messaggio da erFuricksen » 26 gen 2015, 22:48

Determinare $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tale che

$ f(x y) = f(x)f(y) - f(x+y) +1 $
per $ \forall x,y \in \mathbb{R} $

Fonte: AoPS
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Matt123
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Re: Funzionale

Messaggio da Matt123 » 31 gen 2015, 08:38

$ f(x) :=x+1 $?

erFuricksen
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Re: Funzionale

Messaggio da erFuricksen » 31 gen 2015, 13:34

non necessariamente... mostra come mai
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Talete
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Re: Funzionale

Messaggio da Talete » 31 gen 2015, 13:41

Lo metto sotto spoiler:
Testo nascosto:
C'è anche la soluzione costante $1$. Difatti sostituendo $y\mapsto0$ ottengo che $f(0)=1$ oppure $f(x)=1$ per ogni $x$ (che comunque implica $f(0)=1$), la provo e vedo che vale. L'altra si fa per induzione (credo).
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Matt123
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Re: Funzionale

Messaggio da Matt123 » 31 gen 2015, 13:54

Hai ragione, $ per x o y = - 1 - > f(-1 a)! =0f(a)-f(a-1)+1 $

Matt123
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Re: Funzionale

Messaggio da Matt123 » 31 gen 2015, 13:56

Con il punto esclamativo intendo dire diverso non fattoriale. Scusa non conosco bene latex

Matt123
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Re: Funzionale

Messaggio da Matt123 » 01 feb 2015, 09:59

Errore mio funziona anche per - 1

fph
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Re: Funzionale

Messaggio da fph » 01 feb 2015, 11:21

In ogni caso, Matt, il grosso del problema non è trovarle, ma dimostrare che sono solo quelle. :) Se non sei familiare con problemi di questo tipo, puoi trovare una dispensa (scritta da me) quI: http://www.di.unipi.it/~fpoloni/oli/files/arnesi.pdf
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Re: Funzionale

Messaggio da Matt123 » 29 apr 2015, 07:06

Grazie, infatti è la prima volta che faccio esercizi di questo tipo

PIELEO13
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Re: Funzionale

Messaggio da PIELEO13 » 05 nov 2015, 18:37

Visto che nessuno si fa più avanti pubblico la mia soluzione
Testo nascosto:
Dimostrerò che le uniche funzioni che verificano l'equazione funzionale sono:
[math], [math].

La nostra equazione di partenza è: [math] (a)
Pongo [math] nella (a) e ottengo:
[math] da cui [math] e quindi [math]
Pongo [math] nella (a) e ottengo:
[math] da cui [math]
Allora ho due possibilità:
- [math] e sostituendo nella (a) effettivamente verifica e è soluzione.
- [math] con [math] e [math]
Scrivo allora: [math] (b)

Pongo [math] nella (b) e ottengo [math] da cui ricavo [math]
Pongo [math] nella (a) e ottengo [math]. A questo punto faccio alcune traslazioni:
[math] quindi [math]
[math] quindi [math] (c)
A questo punto metto a sistema la (b) e la (c)
[math]
Da cui ricavo [math] (d)
Effettuo un'altra traslazione: [math] e ricavo [math] (e)
A questo punto metto a sistema la (d) e la (e)
[math]
Moltiplico membro a membro, semplifico (notare bene che f(x)=0 non è accettabile) e ricavo [math]

Abbiamo dunque concluso attraverso questi passaggi che la (b) diventa [math]. Analizzo ora i due casi per i valori di k.
CASO 1: [math]
[math]
Allora posso scrivere:
[math]
Sommando membro a membro ottengo dunque: [math] dove [math]
Pongo [math] e ottengo:
[math]. A questo punto pongo [math] e ottengo la tanto agognata funzione:
[math]. Basta sostituire nell'equazione iniziale e osservo che la verifica.
CASO 2: ponendo [math] e ragionando in maniera completamente analoga al CASO 1 ottengo anche [math] che però non è soluzione (basta sostituire).
Et voilà

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