Riarrangiamento Plus

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
Rispondi
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Riarrangiamento Plus

Messaggio da simone256 » 20 gen 2015, 23:10

Tutti conoscono la disuguaglianza di riarrangiamento (o almeno spero la maggior parte), tuttavia sull'Engel mi viene data per buona una disuguaglianza generalizzata dove oltre a creare coppie si possono creare terzetti e accoppiamenti più elaborati. Per esempio ponendo WLOG $ a\geq b \geq c $ (positivi):

$ a^3+b^3+c^3 \geq 3 abc $

(Palese che sta disuguaglianza è banale e si risolve con qualsiasi cosa... Ma non è escluso che si possa trovare qualcosa di peggio).

In questo caso i terzetti del membro di sinistra sono $ (a,a,a);(b,b,b);(c,c,c) $ mentre a destra sono $ (a,b,c);(b,c,a);(c,a,b) $ e si deduce subito che a sinistra ho il massimo con il massimo, il minimo con il minimo ecc... Questo ricorda tanto il riarrangiamento.
Bene, in gara si può dire "per un riarrangiamento molto figo" o c'è un modo migliore o proprio non c'è un modo?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1144
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Riarrangiamento Plus

Messaggio da Drago96 » 21 gen 2015, 08:53

Non l'avevo mai sentita, e non ho ancora provato a dimostrarla...
Tuttavia, gli esempi sull'Engel sono cose bunchingabili, e anche qua fa una cosa simile, sempre però per dimostrare AMGM; inoltre qua c'è una discussione che potrebbe interessare, dove fanno notare che per i negativi non funge...
Quindi boh, magari è una cosa figa, ma magari è anche un'induzione sul riarrangiamento base a cui servono tante ipotesi
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4791
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Re: Riarrangiamento Plus

Messaggio da EvaristeG » 21 gen 2015, 11:32

EDIT: ops, non avevo letto il post di Drago...

Uhm intanto ti servirà "non negativi" come ipotesi, poi dovrebbe essere solo pallosa induzione.
Non negativi serve perché le tre successioni $(-2,1)$, $(-2,1)$, $(1,2)$ che sono ordinate in maniera crescente, hanno prodotto massimo come
$$(-2)\cdot (-2)\cdot2 + 1\cdot1\cdot1=9$$
e non come
$$(-2)\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot2=6\;.$$

Per il resto, dovresti farcela per induzione (o ripetendo esattamente la stessa dimostrazione del riarrangiamento (lo fai per successioni lunghe 2 e usi questo come paso base).

Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Riarrangiamento Plus

Messaggio da simone256 » 21 gen 2015, 22:42

Grazie a entrambi anche per i link :)

Per quanto riguarda usarlo in qualche test? Troppo a caso per essere dato per buono?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4791
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Re: Riarrangiamento Plus

Messaggio da EvaristeG » 22 gen 2015, 01:23

Boh abbastanza: già il solo fatto che abbia l'ipotesi "non negativi" dice che non è l'ovvio riarrangiamento e non è una generalizzazione pulita.

Poi è ovvio che se lo scrivi alle IMO e ci fai un problema, noi sosterremo fino alla morte sotto tortura che in Italia questo si insegna in 2° media e tutti lo chiamano riarrangiamento generalizzato o superriarrangiamento o multiriarrangiamento ... ma se il test è "in casa", la storia è diversa. Se davvero ti serve estensivamente, fallo diventare un lemmetto e accenna la dimostrazione (che è davvero una boiata, in questo caso), oppure cerca un workaround... [Attenzione: questo paragrafo, mutatis mutandis, ha validità generale!]

Rispondi