(Dis)Parità della parte intera
(Dis)Parità della parte intera
Dimostrare che per tutti gli interi positivi $ n $ si ha che
\begin{equation}
\left\lfloor (2+ \sqrt{3})^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lfloor (2+ \sqrt{3})^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2}
\end{equation}
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"
Re: (Dis)Parità della parte intera
Sperando di non sbagliare...
Nello sviluppo di $(2+\sqrt{3})^n$ ogniaddendo tranne l'ultimo conterrà una potenza di $2$ e quindi sarà congruo a $0$ modulo $2$. Ci sara poi un $\sqrt{3}^n$, la cui parte intera è sempre dispari, da cui la tesi.
Nello sviluppo di $(2+\sqrt{3})^n$ ogniaddendo tranne l'ultimo conterrà una potenza di $2$ e quindi sarà congruo a $0$ modulo $2$. Ci sara poi un $\sqrt{3}^n$, la cui parte intera è sempre dispari, da cui la tesi.
Re: (Dis)Parità della parte intera
Ehm, $2\cdot\sqrt3 $ non è molto intero...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: (Dis)Parità della parte intera
E poi $ 46 < ( \sqrt{3} )^7 < 47 $
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"
Re: (Dis)Parità della parte intera
Bello, non so se la soluzione vostra è simile alla mia..
Testo nascosto:
Re: (Dis)Parità della parte intera
Penso sia l'unica soluzione bella, probabilmente anche l'unica possibile...
Non l'avevi mai visto?
P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD
Non l'avevi mai visto?
P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD
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Re: (Dis)Parità della parte intera
Per lo stesso motivo per cui l'hai fatto tu
Knowledge is more important than imagination. For imagination is limited, whereas knowledge embraces the entire world, stimulating progress, bashing shortlist's problems. (Albert E.)
IMPORTANTE: firma anche tu la petizione!
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Re: (Dis)Parità della parte intera
perchè l'altro non mi piaceva haha comunque c'è anche una soluzione che non usa le Pell (e che piacerà sicuramente molto a scambret)Drago96 ha scritto:Penso sia l'unica soluzione bella, probabilmente anche l'unica possibile...
Non l'avevi mai visto?
P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD
P.S: scambret, posteresti la tua soluzione?
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"
Re: (Dis)Parità della parte intera
No, mai visto ma quando l'ho visto e ho visto l'andamento di $(2-\sqrt{3})^n$ ho pensato subito alle Pell..
Bon, consideriamo la Pell $x^2-3y^2=1$. Dato che $(x,y)=(2,1)$ è la fondamentale, sappiamo che
$$x_n =\frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$$
e l'altra che non scrivo per $y_n$ risolvono la Pell.
Beh quindi $x_n$ è intero e brutalmente $B_n=(2-\sqrt{3})^n$ è un numero maggiore di 0 e minore di 1. Dunque chiamando $C_n$ (non nomino cose con $A$ che a me non legge la $A$, chissà perché..) il numero $(2+\sqrt{3})^n$ otteniamo $B_n+C_n=2k_n$ perciò $C_n =2k_n - B_n$ e dunque $2k_n-1<C_n <2k_n$ da cui la tesi.
Bon, consideriamo la Pell $x^2-3y^2=1$. Dato che $(x,y)=(2,1)$ è la fondamentale, sappiamo che
$$x_n =\frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$$
e l'altra che non scrivo per $y_n$ risolvono la Pell.
Beh quindi $x_n$ è intero e brutalmente $B_n=(2-\sqrt{3})^n$ è un numero maggiore di 0 e minore di 1. Dunque chiamando $C_n$ (non nomino cose con $A$ che a me non legge la $A$, chissà perché..) il numero $(2+\sqrt{3})^n$ otteniamo $B_n+C_n=2k_n$ perciò $C_n =2k_n - B_n$ e dunque $2k_n-1<C_n <2k_n$ da cui la tesi.
Re: (Dis)Parità della parte intera
L'avevi chiamato $x_n$, ma va beh...scambret ha scritto:otteniamo $B_n+C_n=2k_n$
Senza scomodare Pell (ma in realtà è comunque la stessa idea), dici che $X_n=(2+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3$ e $Y_n=(2-\sqrt3)^n=\overline{X_n}=a_n-b_n\sqrt3$ con $a,b$ interi; ma allora $X_n+Y_n=2a_n$.
Però era $\left\lfloor(2+\sqrt3)^n\right\rfloor=X_n+Y_n-1$ perché $0<Y_n<1$, fine.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: (Dis)Parità della parte intera
Visto che ci siamo posto anche io:
Prendo la successione $ x_{n+2} = 4x_{n+1} - x_n $ con $ x_0 = 2 $ e $ x_1 = 4 $ , ho che $ x_n $ è pari per ogni $ n $ , e per la formula di risoluzione
\begin{equation}
x_n = ( 2 + \sqrt{3} )^n + ( 2 - \sqrt{3} )^n
\end{equation}
Ora $ 0 < ( 2 - \sqrt{3} )^n < 1 $ , quindi si ha (ricordando che $ x_n $ è pari ) che $ \left\lfloor ( 2 + \sqrt{3} )^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2} $
Ma alla fine sono sostanzialmente la stessa cosa
Prendo la successione $ x_{n+2} = 4x_{n+1} - x_n $ con $ x_0 = 2 $ e $ x_1 = 4 $ , ho che $ x_n $ è pari per ogni $ n $ , e per la formula di risoluzione
\begin{equation}
x_n = ( 2 + \sqrt{3} )^n + ( 2 - \sqrt{3} )^n
\end{equation}
Ora $ 0 < ( 2 - \sqrt{3} )^n < 1 $ , quindi si ha (ricordando che $ x_n $ è pari ) che $ \left\lfloor ( 2 + \sqrt{3} )^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2} $
Ma alla fine sono sostanzialmente la stessa cosa
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"