Fatto noto sui Fibonacci
Fatto noto sui Fibonacci
Un esercizio semplice sui numeri di Fibonacci che torna utile aver visto almeno una volta nella vita. Dimostrare che per ogni intero fissato $k$, $F_{kn}$ è esprimibile come polinomio in $F_n$ e $F_{n-1}$. E se invece considero $F_{kn+l}$, con anche $l$ fissato?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Fatto noto sui Fibonacci
Intendi "per ogni $k$ esiste un polinomio $p\in\mathbb{Z}[x,y]$ tale che per ogni $n$ si ha $F_{kn}=p(F_n,F_{n-1})$? Altrimenti se i quantificatori non son messi così nulla mi impedisce di prendere il polinomio costante uguale a $F_{kn}$...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Fatto noto sui Fibonacci
Sì.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Fatto noto sui Fibonacci
Si può dimostrare per induzione su $k$
Base: per $k=1$ ho che $F_{n+1}=F_{n-1}+F_n \Rightarrow F_{n+2}=F_{n-1}+2F_n \Rightarrow F_{n+3}=2F_{n-1}+3F_n \Rightarrow ...$
e in generale $F_{n+l}=F_lF_{n-1}+F_{l+1}F_n$ (1)(viene facilmente per induzione), per cui il polinomio cercato è
$p_{1,l}(x,y)=F_lx+F_{l+1}y$
Passo induttivo: suppongo che per un certo $k$ e per ogni $l$ esista $p_{k,l}$: allora, riprendendo la (1)
$F_{(k+1)n+l}=F_{n+(kn+l)}=F_{kn+l}F_{n-1}+F_{kn+l+1}F_n \Rightarrow p_{k+1,l}(x,y)=p_{k,l}(x,y)x+p_{k,l+1}(x,y)y$, che è ancora un polinomio
Base: per $k=1$ ho che $F_{n+1}=F_{n-1}+F_n \Rightarrow F_{n+2}=F_{n-1}+2F_n \Rightarrow F_{n+3}=2F_{n-1}+3F_n \Rightarrow ...$
e in generale $F_{n+l}=F_lF_{n-1}+F_{l+1}F_n$ (1)(viene facilmente per induzione), per cui il polinomio cercato è
$p_{1,l}(x,y)=F_lx+F_{l+1}y$
Passo induttivo: suppongo che per un certo $k$ e per ogni $l$ esista $p_{k,l}$: allora, riprendendo la (1)
$F_{(k+1)n+l}=F_{n+(kn+l)}=F_{kn+l}F_{n-1}+F_{kn+l+1}F_n \Rightarrow p_{k+1,l}(x,y)=p_{k,l}(x,y)x+p_{k,l+1}(x,y)y$, che è ancora un polinomio
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)