Disuguaglianza apparentemente innocua

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karlosson_sul_tetto
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Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 ago 2014, 10:50

Siano a,b,c reali positivi tali che$ abc=1 $. Dimostrare:
$ a^3+b^3+c^3+3\geq 2(a^2+b^2+c^2) $
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GimmyTomas
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da GimmyTomas » 21 ago 2014, 16:08

Propongo la strada che ho trovato, non so se è giusta...

Notiamo che $ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3+ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c=a^3+b^3+c^3+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} $. Ma $ \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 6 $ per AM-GM, quindi $ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq a^3+b^3+c^3+6 $.

Ora moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza iniziale per $ (a+b+c) $ e usiamo la relazione appena trovata.
$ (a^3+b^3+c^3+3)(a+b+c)\geq2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 2(a^3+b^3+c^3+6)=2(a^3+b^3+c^3+3)+6 $
Riarrangiamo:
$ (a^3+b^3+c^3+3)(2-(a+b+c))+6\leq0\implies (a^3+b^3+c^3+3)((a+b+c)-2)\geq6 $
Ora, per AM-GM si trova facilmente che $ a^3+b^3+c^3\geq3 $ e che $ a+b+c\geq3 $. Quindi $ (a^3+b^3+c^3+3)\geq 6 $ e $ (a+b+c)-2\geq 1 $ e la disuguaglianza è vera.

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karlosson_sul_tetto
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 ago 2014, 16:29

GimmyTomas ha scritto: Ora moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza iniziale per $ (a+b+c) $ e usiamo la relazione appena trovata.
$ (a^3+b^3+c^3+3)(a+b+c)\geq2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 2(a^3+b^3+c^3+6)=2(a^3+b^3+c^3+3)+6 $
Wait, se ho capito bene quel che fai è $ LHS\cdot roba\geq RHS\cdot roba\geq altraroba $, poi successivamente dimostri che $ LHS*roba\geq altraroba $; ma questo è sbagliato, perché dalla tesi segue questo, ma da quesro non segue la tesi, dovresti inserire un termine a metà tra LHS e RHS; esempio: $ a^2>a^2+1>-76 $, è vero che $ a^2>-76 $ cosi come $ a^2+1>-76 $, ma da questo non segue $ a^2>a^2-1 $
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da GimmyTomas » 21 ago 2014, 16:32

karlosson_sul_tetto ha scritto:
GimmyTomas ha scritto: Ora moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza iniziale per $ (a+b+c) $ e usiamo la relazione appena trovata.
$ (a^3+b^3+c^3+3)(a+b+c)\geq2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 2(a^3+b^3+c^3+6)=2(a^3+b^3+c^3+3)+6 $
Wait, se ho capito bene quel che fai è $ LHS\cdot roba\geq RHS\cdot roba\geq altraroba $, poi successivamente dimostri che $ LHS*roba\geq altraroba $; ma questo è sbagliato, perché dalla tesi segue questo, ma da quesro non segue la tesi, dovresti inserire un termine a metà tra LHS e RHS; esempio: $ a^2>a^2+1>-76 $, è vero che $ a^2>-76 $ cosi come $ a^2+1>-76 $, ma da questo non segue $ a^2>a^2-1 $
Giustogiustogiusto, sorry, dormivo evidentemente!

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da Gi. » 21 ago 2014, 18:29

Invece, consideriamo

$ a^3+b^3+c^3-3 $

$ abc=1 $, allora possiamo riscrivere l'espressione sopra come

$ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge 3(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)= $

$ 2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)-3(ab+ac+bc) \ge 2(a^2+b^2+c^2) -2(ab+ac+bc) \le 2(a^2+b^2+c^2) $

Dove ho utilizzato AM-GM sulla terna $ (a,b,c) $ e la diseguaglianza nota $ a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc $.
Per dimostrare la diseguaglianza del testo è sufficiente far vedere che $ 6 \ge 2(ab+ac+bc) $.
Ma questo è facile, infatti $ \displaystyle ab+ac+bc=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $, quindi

$ \displaystyle \frac{6}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{6}{3}=2 $

Dove l'ultima segue per AM-GM sulla terna $ \left ( \displaystyle \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right ) $.

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 ago 2014, 19:24

Gi. ha scritto: Per dimostrare la diseguaglianza del testo è sufficiente far vedere che $ 6 \ge 2(ab+ac+bc) $.
Ma questo è facile, infatti $ \displaystyle ab+ac+bc=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $, quindi

$ \displaystyle \frac{6}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge \frac{6}{3}=2 $

Dove l'ultima segue per AM-GM sulla terna $ \left ( \displaystyle \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right ) $.
Questo non mi torna, perché invertendo dovresti cambiare il segno della disuguaglianza... Poi ponendo $ (1,\frac{1}{2}, 2 $ verrebbe:
$ 6 \geq 2(\frac{1}{2}+2+1) $
$ 6\geq 2 \cdot \frac{7}{2} $
e ciò è abbastanza falso...
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da Gi. » 21 ago 2014, 20:11

Infatti è terribilmente falsa: ho invertito un segno di diseguaglianza :roll:
Dalla parte precedente, che a quanto ho capito ti convince, abbiamo

$ a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)+6 $

Quindi deve valere $ \displaystyle 6-2(ab+ac+bc) \le 0 \Rightarrow ab+ac+bc=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 3 $ [e non il contrario, come ho affermato nel post precedente].
Questa è vera, infatti per GM-HM sulla terna $ (a,b,c) $

$ \displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 3 $

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 ago 2014, 20:39

Ok dovrebbe andare bene :D
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da Tess » 22 ago 2014, 12:48

Gi. ha scritto:Quindi deve valere $6−2(ab+ac+bc)\leq 0$
C'è qualcosa che non mi torna. Così non mi pare che tu concluda...
Ultima modifica di Tess il 23 ago 2014, 14:26, modificato 1 volta in totale.

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da Gi. » 22 ago 2014, 17:25

E hai ragione, infatti quel che ho dimostrato è:

$ a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)+[6-2(ab+ac+bc)] $

e

$ 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(a^2+b^2+c^2)+[6-2(ab+ac+bc)] $

e da queste due ho dedotto

$ a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2) $

In pratica lo stesso errore commesso in precedenza.
Cerco un'altra strada, da questa non si conclude (o io non riesco a vedere il modo per farlo).

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da gpzes » 23 ago 2014, 13:51

HINT: ${{a}^{3}}-2{{a}^{2}}+1\ge 0$

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 23 ago 2014, 15:30

Uhm, questo non mi par veroper ogni a positivo...
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da gpzes » 23 ago 2014, 15:39

:wink: :wink: ..è solo hint..non volevo mettere soluzione completa.. :oops: :oops:
non so se postarla...

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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 23 ago 2014, 15:42

Avevo frainteso, scusami :oops:
Comunque postala pure se ne hai voglia, penso che interessi a molti
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Re: Disuguaglianza apparentemente innocua

Messaggio da gpzes » 23 ago 2014, 15:46

:wink: :wink: :oops: :oops: tutto ok...

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