$(x^3+y^3+z^3
)^2+3(xyz)^2$

[Nemo]

Siano $x$, $y$, e $z$ dei numeri reali. Dimostrare che:
$$(x^3+y^3+z^3)^2+3(xyz)^2 \ge 4(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)$$
Determinare i casi di uguaglianza.

[Lasker]

Applicando opportunamente la disuguaglianza di Schur ai numeri $x^2y^2z^2$ e quindi bunching, ottengo che è verificata la seguente disuguaglianza:
$$\sum_{sym}x^6y^0z^0+\sum_{sym}x^2y^2z^2\geq 2\sum_{sym}x^4y^2z^0 \geq 2\sum_{sym}x^3y^3z^0$$
Sviluppando le sommatorie bovinamente:
$$2(x^6+y^6+z^6)+2(3x^2y^2z^2)\geq 2[2(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3)]$$
Che, sommando ad entrambi i membri $2(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3)$ diventa:
$$x^6+y^6+z^6+2(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3)+3x^2y^2z^2\geq 4(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3)$$
Riconoscendo al LHS un quadrato di trinomio, si ottiene la tesi.
Il caso di uguaglianza sarà quindi quello di Schur, (verificato a mano), ovvero $x=y=z$ oppure $x=y, z=0$ e cicliche.

[lucaboss98]

EDIT: errore nel Bunching